Четырнадцатая звёздчатая форма икосаэдра
Давным-давно в далекой галактике сражались силы Света и Тьмы. Присмотритесь к этим серебристым граням, они похожи на корабли тех воителей.
*описание многогранника на страницах набора «Волшебные грани»
Видео. Вращение многогранника
Видео. Сборка многогранника из набора
Подробная сборка от Алексея Жигулева (youtube-канал Оригами)
Подробная сборка от Андрея Ломакина (youtube-канал Sekretmastera)
Популярное
Современный кинематограф постарался привлечь внимание зрителя, используя геометрические формы «инопланетного происхождения».
Архитекторы с древних времен применяли элементы многогранников в создании своих творений. В современно мире этот подход выделяет здания среди тысяч других.
Если ты не любишь математику, опасайся хэллоуина! Злые силы придут за тобой в хэллоуин! Создай двух стражей, которые будут оберегать тебя от злых сил! Ну, или.
Памятник многограннику «Усечённый большой додекаэдр» был обнаружен в городе Обнинск, напротив здания «ДОСААФ» (ул.Шацкого, д.14).
14 звездчатая форма икосаэдра
Звёздчатый многогранник — это правильный невыпуклый многогранник. Многогранники из-за их необычных свойств симметрии исследуются с древнейших времён. Также формы многогранников широко используются в декоративном искусстве.
Звёздчатый октаэдр
Существует только одна звёздчатая форма октаэдра. Звёздчатый октаэдр был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя почти 100 лет переоткрыт Иоганном Кеплером, и назван им Stella octangula — звезда восьмиугольная. Отсюда эта форма имеет и второе название stella octangula Кеплера. По сути она является соединением двух тетраэдров.
Звёздчатые формы додекаэдра
Додекаэдр имеет 3 звёздчатые формы: малый звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр, большой звёздчатый додекаэдр(звёздчатый большой додекаэдр, завершающая форма). Первые две из них были открыты Кеплером (1619), третья — Пуансо (1809). В отличие от октаэдра любая из звёздчатых форм додекаэдра не является соединением платоновых тел, а образует новый многогранник.
Все 3 звёздчатые формы додекаэдра, вместе с большим икосаэдром образуют семейство тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых (звёздчатых) многогранников.
Вершины большого звёздчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани.
Звёздчатые формы икосаэдра
Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм, из которых 32 обладают полной, а 27 неполной икосаэдральной симметрией, что было доказано Кокстером совместно с Дювалем, Флэзером и Петри c применением правил ограничения, установленных Дж. Миллером. Одна из этих звёздчатых форм (20-я, мод. 41 по Веннинджеру), называемая большим икосаэдром, является одним из четырёх правильных звёздчатых многогранников Кеплера—Пуансо. Его гранями являются правильные треугольники, которые сходятся в каждой вершине по пять; это свойство является у большого икосаэдра общим с икосаэдром.
Среди звёздчатых форм также имеются: соединение пяти октаэдров, соединение пяти тетраэдров, соединение десяти тетраэдров.
Икосаэдр имеет двадцать граней. Если каждую из них продолжить неограниченно, то тело будет окружено большим многообразием отсеков — частей пространства, ограниченных плоскостями граней. Все звёздчатые формы икосаэдра можно получить добавлением к исходному телу таких отсеков. Не считая самого икосаэдра, продолжения его граней отделяют от пространства 20+30+60+20+60+120+ 12+30+60+60 отсеков десяти различных форм и размеров. Большой икосаэдр (см. рис) состоит из всех этих кусков, за исключением последних шестидесяти.
Звёздчатые формы кубооктаэдра
Кубооктаэдр имеет 4 звёздчатые формы, удовлетворяющие ограничениям, введённым Миллером. Первая из них является соединением куба и октаэдра.
Звёздчатые формы икосододекаэдра
Икосододекаэдр имеет множество звёздчатых форм.
Икосододекаэдр имеет 32 грани, из которых 12 являются правильными пятиугольными гранями, а остальные 20 — правильные треугольники. Что касается вопроса о том, могут ли получившиеся многогранники оказаться правильными, то на него давно получен ответ. Великий математик Коши ещё в 1811 году доказал, что список правильных многогранников исчерпывается пятью платоновыми телами вкупе с четырьмя многогранниками Кеплера — Пуансо.
Этот многогранник получается при продолжении граней додекаэдра. Его можно также получить из икосаэдра, вырезанием из его граней правильных треугольных пирамид.
Получается продолжением граней икосаэдра. Его можно также получить из малого звездчатого додекаэдра вырезанием из его граней треугольных пирамид.
Помимо правильных звездчатых многогранников (тел Кеплера-Пуансо) имеется более сотни различных звездчатых форм многогранников. На рисунке показаны звездчатые формы кубооктаэдра.
На рисунке показаны некоторые звездчатые формы икосаэдра. Всего их 59.
На рисунке показаны некоторые звездчатые формы икосододекаэдра. Всего их 19.
А вот ещё группа красавцев…
Объединением каких двух многогранников он является? Что является их пересечением?
Ответ: Тетраэдров; октаэдр.
Какие боковые ребра должны быть у правильных пятиугольных пирамид, чтобы при добавлении их к граням додекаэдра с ребром a получился малый звездчатый додекаэдр?
Какие ребра должны быть у правильных треугольных пирамид, чтобы при удалении их из граней икосаэдра с ребром a получился большой додекаэдр?
Какие ребра должны быть у правильных треугольных пирамид, чтобы при добавлении их к граням икосаэдра с ребром a получился большой звездчатый додекаэдр?
Вершинами какого многогранника являются вершины большого звездчатого додекаэдра?
Как из большого додекаэдра можно получить многогранник, изображенный на рисунке?
Ответ: Операцией усечения.
Трехмерные модели однородных многогранников и их звездчатых форм
Для каждого однородного многогранника можно породить как в трехмерном калейдоскопе огромное множество звездчатых форм, внешне чрезвычайно привлекательных. Достаточно рассмотреть изображения звезд в галерее, а также примеры звездоформ икосаэдра и кубоктаэдра. Для более сложных многогранников звездчатые формы практически не известны; этот сайт практически впервые дает возможность их увидеть и изучить. Для вас доступны два пути поиска новых многогранников: выбор какой-либо уже представленной на сайте звездчатой формы (а всего их тут более миллиона), либо целенаправленная сборка нового многогранника из отсеков в режиме ручного редактирования звездчатых форм.
Многие великие и умные люди проявляли интерес к многогранникам. Во времена Пифагора учение о многогранниках было сакральным, тайной, доступной только избранным. В философской системе Платона важная роль отводилась правильным многогранникам. Архимед перечислил все полуправильные выпуклые многогранники. Кеплер придумал два звёздчатых правильных многогранника, затем Пуансо нашел ещё два, а Коши доказал: других правильных нет. Коксетер и другие только в середине 20 века перечислили остальные полуправильные невыпуклые многогранники. Ещё позднее удалось доказать, что список однородных многогранников полон.
Что касается звездчатых форм сложных многогранников, то они практически никому не известны. Возможно именно Вам посчастливится найти интересно устроенный или особенно красивый многогранник! Тогда в галерее среди достойнейших мужей вы сможете занять свое почетное место.
Завершающая звёздчатая форма икосаэдра
Тонкие иглы этого многогранника напоминают дерзкого морского ежа. А может быть это кусочек таинственного венецианского карнавала? Присмотритесь внимательнее, сколько звезд вы сможете насчитать в этих ярких лучах? Не забудьте вернуться в реальность, когда разберетесь с космическими формами.
* подробное описание многогранника на страницах наборов «Волшебные грани»
Подробная сборка от Алексея Жигулева (youtube-канал Оригами)
Подробная сборка от Андрея Ломакина (youtube-канал Sekretmastera)
Популярное
Почему бумага? Иногда приходится слышать вопрос: «Почему вы выбрали для сборки многогранников такой материал как бумага (или точнее дизайнерский картон)? Это же.
Сделать новогодний праздник красивым и необычным, чтобы дети видели в нём сказку, а гости восхищались, можно только своими руками. Бумажные многогранники –.
Можно ли представить икосаэдр в виде более простых многогранников.
Знакомые каждому с детства коробочки для Биг-Мака и картошки, стаканчик для Кока-Колы так же делают из бумажных разверток.
Александрийский маяк — одно из 7 чудес света, был построен в III веке до н. э. в египетском городе Александрия, чтобы корабли могли благополучно миновать рифы на пути в александрийскую.
Правильные многогранники, их всего пять: тетраэдр, октаэдр, куб (другое название гексаэдр).
Звездчатые формы однородных многогранников
Здесь можно увидеть трехмерные изображения величайшего множества звездчатых форм однородных многогранников. Достаточно выбрать однородный многогранник (например, икосаэдр), и можно переключаться ← → между его звездчатыми формами. Кнопка 1 выбирает первую (завершающую) звездчатую форму, а кнопка * делает случайный выбор. За счет использования фильтра можно ограничиться звездчатыми формами только определенного вида. Кроме режима просмотра звездчатых форм предусмотрен режим отображения отсеков, из которых составляются звездчатые формы, а также режим ручного редактирования звездчатых форм. Обладатели стереоочков могут настроить режим стереоскопического просмотра 
и любоваться объемными изображениями.
Лог запуска 3d-визуализатора
Коротко о звездчатых формах многогранников
Чем больше отсеков, тем больше различных вариантов их сочетания, и тем больше звездчатых форм можно получить. Однако не все комбинации отсеков допустимы. Правила Дж. Миллера требуют, чтобы новый многогранник был связным телом; имел ту же группу симметрии, что и исходный многогранник (по крайней мере для вращений); также каждая внешняя грань должна быть доступна из вне.
О выборе исходного многогранника
Чем более сложный однородный многогранник будет использован для создания звездчатых форм, тем большее их разнообразие может быть получено. Начать знакомство со звездчатыми формами однородных многогранников можно со звездчатых форм икосаэдра. У октаэдра и додекаэдра звездчатых форм меньше (одна и четыре), но они также очень важны и хорошо иллюстрируют процессы порождения отсеков гранями исходного многогранника и построения из них разнообразных звездчатых форм. Далее рекомендуется рассмотреть звездчатые формы более сложных тел, кубоктаэдра и икосододекаэдра. Количество звезд для последнего просто огромно, есть на самый взыскательный вкус.
Вообще исходный однородный многогранник можно выбирать любым. Но целесообразно учитывать два момента: что на данном сайте множества звездчатых форм ограничено определенными сериями, и что по ряду причин для некоторых различных однородных многогранников звездчатые формы могут быть одинаковыми или похожими.
Серии звездчатых форм, представленные на сайте
Фильтры предназначены для выбора звездчатых форм с определенным внешним видом. Фильтр «сплошные» соответствует многогранникам, каждая грань которых видна только с передней стороны. Звездоформы серии имеют вид сложных острых или тупых пиков, торчащих из общего центра, поэтому весьма привлекательны. Фильтр «Дырявые» соответствует многогранникам, у которых удалены внутренности и центр симметрии доступен из вне, это зачастую интересные воздушные многогранники. Фильтр «Единый отсек» соответствует телам, в которых различные экземпляры образующих тело отсеков нельзя раскрасить в разные цвета так, чтобы лежащие в одной плоскости соприкасающиеся грани имели одинаковый цвет. Фильтр «Выпуклые» соответствует простейшим выпуклым телам.
Для сложных многогранников число допустимых сочетаний отсеков огромно, поэтому на сайте представлена только часть звездчатых форм, которые перечисляются автоматически специальными комбинаторными алгоритмами. Всегда представлена под первым номером завершающая звездчатая форма, которая соответствует объединению всех отсеков. Следующие формы получаются путем удаления определённых отсеков (этот процесс можно назвать огранкой). Алгоритм пытается перебрать все возможные сочетания отсеков, удовлетворяющие определенным условиям. Для простых тел удаётся перебрать все самые красивые звездчатые формы и даже выполнить контроль «красоты» с участием человека. Для сложных многогранников перебор приходится сокращать. Например, для курносых многогранников перебор урезан до минимума: множество видимых отсеков завершающий звездчатой формы объявляется слоем. Отсеки слоя удаляются один за другим. Далее обнажившиеся отсеки объявляются новым слоем, и процесс огранки продолжается. Число звездчатых форм при этом равно числу отсеков исходного тела. К сожалению, для сложных тел представленные на сайте множества звездчатых форм существенно не полны, поскольку даже сами эти тела среди звездоформ не представлены (хотя они очевидно являются допустимыми звездчатыми формами). Этот недостаток в какой то мере компенсирует возможность ручного редактирования звездчатых форм.
Режим ручного редактирования звездчатых форм
Ручное редактирование звездчатых форм осуществляется при помощи двух инструментов: «зубила» и «тюбика» (с гормоном роста). Если кликнуть по какой либо грани многогранника «зубилом», соответствующий отсек будет выключен. А если использовать «гормон роста», то на грани вырастит соответствующий отсек. Функция «Оболочка» выключает все недоступные из вне отсеки, что полезно для создания «дырявых» многогранников. Процесс редактирования всегда завершается функцией «Нормализации», при которой все недоступные из вне отсеки присоединяются к телу.
О схожести звездчатых форм различных однородных многогранников
Случай включения простых звездчатых форм в множество более сложных Возможна ситуация, когда все звездчатые формы одного многогранника встречаются среди звездчатых форм другого, более сложного. Это возможно, если набор плоскостей исходного многогранника дополняют плоскости более сложного. Например, звездчатые формы икосододекаэдра (плоскости 5,3) включают все звездчатые формы икосаэдра (плоскость 3) и додекаэдра (плоскость 5), а также их комбинации (объединения, пересечения, разности). Эта ситуация постоянно встречается в сложных многогранниках: всегда, когда плоскость соответствующего происхождения входит в сложный многогранник. Поэтому звездчатые формы додекаэдра и икосаэдра будут постоянно встречаться среди звездчатых форм более сложных многогранников (с икосаэдральной симметрией). Случаи точного включения нескольких плоскостей уже достаточно редкие, вот они все: №10 в №55, №29 в №40, №60 в №28 и №36 в №54.
Случай схожести звездчатых форм при различном расположении плоскостей Даже если одни и те же плоскости расположены немного по разному, то звездчатые формы вcе равно могут иметь много общего. В таблице многогранники специально отсортированы в порядке увеличении расстояний между плоскостями. Например, в ряду из 12 многогранников с №56 по №43 происходит постепенное увеличение удаления икосаэдральной (3) плоскости от центра тела (положение додекаэдральной плоскости считается фиксированным). При этом наблюдается постепенное изменение внешнего вида звездчатых форм, что особенно хорошо видно по завершающим звездчатым формам. Благодаря постепенному изменению, соседствующие в таблице многогранники будут иметь весьма похожие (завершающие) звездчатые формы.
Случай идентичности завершающих звездчатых форм Если к заданному набору плоскостей добавить новую плоскость, тип которой уже был представлен в заданном наборе, то это не приведет к изменению завершающей звездчатой формы. Руководствуясь все той же таблицей, легко найти соответствующие наборы однородных многогранников. Например, завершающие формы всех многогранников с типами граней 5; 5,5 и 5,5+ (в таблице от №5 до №29) одинаковые. Аналогичная ситуация для наборов плоскостей 5,3+; 5.3; 5,5,3, только нужно учитывать (как это делалось выше), что плоскости типов 5,3 могут располагаться на разном расстоянии от центра многогранника.
Таким образом таблица помогает ориентироваться в выборе исходных однородных многогранников для построения звездчатых форм. Чтобы перемещаться между однородными многогранниками в том порядке, как они представлены в таблице, можно выбрать порядок «типы граней».
Девятая звездчатая форма икосаэдра
Яркая звезда в небе над пустыней ознаменовала важный день больше двух тысяч лет назад. Может быть и эти золотистые лучи многогранника укажут вам новый путь.
Гранью многогранника являются три треугольника выделенные золотым цветом на рисунке.
Многогранник состоит из 20-ти групп таких многоугольников.
Видео. Вращение многогранника
Популярное
В качестве заставки для этой статьи мы предлагаем картинку из популярной телевикторины.
Как вы думаете, что общего у додекаэдра и календаря?
Студией Артемия Лебедева (https://www.artlebedev.ru/) была предложена форма скворечника в виде многогранника. В качестве геометрической.
Предположим, вы впервые увидели на прилавке книжного магазина или на страницах в интернете издание «Волшебные грани». Хочется попробовать? Но вот вопрос, какой выпуск взять на пробу.
На первый взгляд может показаться, что выбор клея, задача совсем простая, тем более для бумаги (картона). Но, когда получаешь отзывы как от ребят, так.
Можно ли проводить дополнительные школьные занятия по геометрии собирая модели многогранников? Конечно же да. Нас пригласили в школу № 2005 (г. Москва), чтобы показать как.
Под руководством учителя математики Тимофеевой Татьяны Юрьевны ребята работали над проектом «Удивительный мир многогранников». Делали свои развертки и использовали развертки из.