Задача 27260 15 января планируется взять кредит в.
Условие
15 января планируется взять кредит в банке на 18 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1–го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2–го по 14–е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15–го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15–е число предыдущего месяца.
Известно, что за первые 9 месяцев нужно выплатить 1024 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
Все решения
Пусть х сумма, взятая в кредит в банке.
1–го числа следующего месяца (февраль) долг составит:
1,02х.
Со 2–го по 14–е число должна быть произведена выплата в размере:
(х/18)+0,02х.
после чего сумма долга составит
1,02х–(х/18)–0,02х=(17/18)х.
(При такой схеме долг на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца).
1–го марта долг составит:
1,02·(17/18)х.
Со 2–го по 14–е число должна быть произведена выплата в размере:
(х/18)+0,02·(17/18)х.
после чего сумма долга составит:
1,02·(17/18)х–(х/18)–0,02·(17/18)х=(16/18)x.
.
За 9 месяцев будет выплачено:
((х/18)+0,02·х)+((х/18)+0,02·)17/18)·х)+. +((х/18)+0,02·(10/18)·х)=
=9*(х/18)+(0,02·х)/18·(10+11+12+13+14+15+16+17.+18)=
=(х/2)+0,02*7х=0,64х
15 января планируется взять кредит в банке на 18 месяцев 2 процента
Источник задания: Решение 4552. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Ответ.
Задание 17. 15 января планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?
Пусть 
рублей размер кредита, взятого в банке. Каждые 11 месяцев кредит сначала увеличивается на 3%, а затем, из него вычитается часть возвращенного долга таким образом, чтобы сумма кредита уменьшалась каждый месяц на равные доли. Для этого погашать кредит нужно в размере 
в первый раз. Долг становится равный
.
Во второй раз долг увеличивается также на 3% и погашается в размере 
:
и так далее все 11 раз. В результате имеем следующую сумму выплат банку за весь срок кредитования:
.
Перепишем это выражение в более удобной форме:
Из последнего выражения видно, что первоначальная сумма кредита увеличилась в 1,18 раз, то есть на 118%.
15 января планируется взять кредит в банке на 18 месяцев 2 процента
15 января планируется взять кредит в банке на 10 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 1,83 млн рублей?
Пусть сумма кредита равна S. По условия долг перед банком по состоянию на 15-е число должен уменьшаться до нуля равномерно:
Первого числа каждого месяца долг возрастает на 4%, значит, последовательность размеров долга по состоянию на 1-е число такова:
Таким образом, выплаты должны быть следующими:
Всего следует выплатить:
Значит, сумма, взятая в кредит, равна 1,5 млн рублей.
Ответ: 1,5 млн рублей.
15 сентября планируется взять кредит в банке на 12 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 1,26 млн рублей?
Пусть сумма кредита равна S. Долг перед банком по состоянию на 15-е число должен уменьшаться до нуля равномерно:
По условию 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4%. Значит, последовательность размеров долга по состоянию на 1-е число такова:
Таким образом, выплаты должны быть следующими:
Всего следует выплатить
По условию 
млн рублей. Значит, сумма, взятая в кредит, равна 1 млн рублей.
Ответ: 1 млн рублей.
15 сентября планируется взять кредит в банке на 12 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 1,59 млн рублей?
Пусть сумма кредита равна S. Долг перед банком по состоянию на 15-е число должен уменьшаться до нуля равномерно:
По условию 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 5%. Значит, последовательность размеров долга по состоянию на 1-е число такова:
Таким образом, выплаты должны быть следующими:
Всего следует выплатить
По условию 
млн рублей. Значит, сумма, взятая в кредит, равна 1,2 млн рублей.
Ответ: 1,2 млн рублей.
15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что в восьмой месяц кредитования нужно выплатить 29 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
Пусть сумма кредита равна S. По условия долг перед банком по состоянию на 15-е число должен уменьшаться до нуля равномерно:
Первого числа каждого месяца долг возрастает на 4%, значит, последовательность размеров долга по состоянию на 1-е число такова:
Таким образом, выплаты должны быть следующими:
В восьмой месяц выплата составит 
Всего следует выплатить:
Значит, банку нужно вернуть 
рублей.
Ответ: 435 000 рублей.
Аналоги к заданию № 520193: 520212 530459 530561 556611 Все
Задача 10363 15 января планируется взять кредит в.
Условие
15 января планируется взять кредит в банке на 18 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?
Решение
Пусть кредит составляет А рублей, 2 % – процентная ставка, 18 месяцев–срок, на который взят кредит.
Ежемесячно нужно выплачивать одинаковую сумму долга А/n,
Выплаты процентов составят:
за первый месяц 0,02•А (сумма выплаты идет со всей взятой суммы)
за второй месяц 0,02•(А–(А/18))=0,02•17A/18 (сумма выплат уже уменьшилась на (1/18)A.
за третий месяц 0,02•(А–(2А/18))=0,02•16A/18 (сумма выплат уже уменьшилась на (2/18)A.
…
за 18–й месяц 0,02•A/18 (сумма выплат уменьшилась на (17A/18).
Тогда за 18 месяцев придется вернуть всю взятую сумму
18 •(А/18)=A
и проценты, т.е.
0,02•А+0,02•(17A/18)+…+0,02•(A/18)=0,02•А(1+(17А/18)+(16А/18)+… (А/18))
В скобках приводим к общему знаменателю и в числителе находим сумму 18 слагаемых от 18 до 1 по формуле суммы арифметической прогрессии.
А +0,02•А(18+17+…+1)/18=А+0,19А=1,19А руб.- общая сумма выплат
А руб составляют 100%
1,19А руб. составляют х%
х=1,19А•100:А=119%.
Ответ. общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования 119 % от суммы кредита.
15 января планируется взять кредит в банке на 18 месяцев 2 процента
15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Пусть начальная сумма кредита равна S0, тогда переплата за первый месяц равна 
По условию, ежемесячный долг перед банком должен уменьшиться равномерно. Этот долг состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты, равной 
и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов, равной
Используя формулу суммы членов арифметической прогрессии, найдём полную переплату по кредиту:
По условию общая сумма выплат на 30% больше суммы, взятой в кредит, тогда:
Примечание Дмитрия Гущина.
Укажем общие формулы для решения задач этого типа. Пусть на n платежных периодов (дней, месяцев, лет) в кредит взята сумма S, причём каждый платежный период долг сначала возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего платежного периода, а затем вносится оплата так, что долг становится на одну и ту же сумму меньше долга на конец предыдущего платежного периода. Тогда величина переплаты П и полная величина выплат В за всё время выплаты кредита даются формулами
В условиях нашей задачи получаем: 
откуда для n = 19 находим r = 3.
Доказательство формул (для получения полного балла его нужно приводить на экзамене) немедленно следует из вышеприведённого решения задачи путём замены 19 месяцев на n месяцев и использовании формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии.