30 простых приемов устного счета
Тридцать простых приемов устного счета
В настоящее время в продаже нет руководств, содержащих наставления к быстрому выполнению счетных операций в уме. Мы сочли поэтому полезным собрать в краткой брошюре наиболее простые и легко усваиваемые приемы быстрого устного счета, Они рассчитаны на средние способности имеют в виду не публичные выступления на эстраде, а потребности повседневной жизни. Пользующиеся книжечкой должны помнить, что успешное овладение ее указаниями предполагает не механическое, а вполне сознательное распоряжение приемами и, кроме того, более или менее продолжительную тренировку. Зато, усвоив рекомендуемые приемы, можно выполнять быстрые расчеты в уме с безошибочностью письменных вычислений.
Умножение на однозначное число
Чтобы устно умножить число на однозначный множитель (например, 27 X выполняют действие, начиная с умножения не единиц, как при письменном умножении, а иначе: умножают сначала десятки множимого (20X8 = 160), затем единицы (7*8 =56) и оба результата складывают.
Полезно знать на память таблицу умножения до 19*9:
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | 88 | 99 |
12 | 24 | 36 | 48 | 60 | 72 | 84 | 96 | 108 |
13 | 26 | 39 | 52 | 65 | 78 | 91 | 104 | 117 |
14 | 28 | 42 | 56 | 70 | 84 | 98 | 112 | 126 |
15 | 30 | 45 | 60 | 75 | 90 | 105 | 120 | 135 |
16 | 33 | 48 | 64 | 80 | 96 | 112 | 128 | 144 |
17 | 34 | 51 | 68 | 85 | 102 | 119 | 136 | 153 |
18 | 36 | 54 | 72 | 90 | 108 | 126 | 144 | 162 |
19 | 39 | 57 | 76 | 95 | 114 | 133 | 152 | 171 |
Зная эту таблицу, можно умножение например, 147*8 выполнить в уме так: 147*8-140*8+7*8= 1120 + 56= 1176
Когда одно из умножаемых чисел разлагается на однозначные множители, удобно бывает последовательно умножать на эти множители. Например: 225*6=225*2*3=450*3=1350
Умножение на двузначное число
Умножение на двузначное число стараются облегчить для устного выполнения, приводя это действие к более привычному умножению на однозначное число.
Когда множимое однозначное, мысленно переставляют множители и выполняют действие, как указано в § 1. Например:
Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы. Например:
41*16=41*10+41*6 = 410+246 =656
(или 41*16=16*41 = 16*40+16*1=640+16=656
Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами.
Если множимое или множитель легко разложить в уме на однозначные числа (напр., 14 = 2*7), то пользуются этим, чтобы уменьшить один из множителей, увеличив другой во столько же раз (ср. § 3). Например:
Умножение на 4 и на 8
Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают. Например:
Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают. Например:
(Eще удобнее: 217*8=200*8 +17*8= 1600*13=1736.
Деление на 4 и на 8
Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам. Например:
Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам. Например:
516:8=258:4=129:2= 64 1/2
Умножение на 5 и на 25
Чтобы устно умножить число на 5 умножают его на 10/2, т. е. приписывают к числу ноль и делят пополам. Например:
При умножении на 5 числа четного удобнее сначала делить пополам и к полученному приписать ноль. Например:
Если же число при делении на 4 дает остаток, то прибавляют
при остатке: к частному
Основание приема ясно из того, что
Умножение на 1 1 /2, на 1 1/ 4, на 2 1 /2, на 3 /4
Чтобы устно умножить число на 1 1 /2 прибавляют к множимому его половину. Например:
Чтобы устно умножить число на 1 1 /4 Прибавляют к множимому его четверть. Например:
Чтобы устно умножить число на 2 1 /2. к удвоенному числу прибавляют половину множимого.
Например: 18*2 1 /2.=36+9= 45;
Другой способ состоит в умножении на 5 и делении пополам:
Быстрый счёт (Перельман)
Точность | Выборочно проверено |
В настоящее время в продаже нет руководств, содержащих наставления к быстрому выполнению счетных операций в уме. Мы сочли поэтому полезным собрать в краткой брошюре наиболее простые и легко усваиваемые приемы быстрого устного счета. Они рассчитаны на средние способности и имеют в виду не публичные выступления на эстраде, а потребности повседневной жизни. Пользующиеся книжечкой должны помнить, что успешное овладение ее указаниями предполагает не механическое, а вполне сознательное распоряжение приемами и, кроме того, более или менее продолжительную тренировку. Зато, усвоив рекомендуемые приемы, можно выполнять быстрые расчеты в уме с безошибочностью письменных вычислений.
Отв. редактор В. А. Камский. Техн. ред. А. Я. Барвиш
М 18609 | 1 /4 печ. листа. Тираж 5 000. |
4-я тип. Лениздата им. Григорьева 4021
§ 1. Чтобы устно умножить число на однозначный множитель (например, 27 × 8 ), выполняют действие, начиная с умножения не единиц, как при письменном умножении, а иначе: умножают сначала десятки множимого ( 20 × 8 = 160 ), затем единицы ( 7 × 8 = 56 ) и оба результата складывают.
34 × 7 = 30 × 7 + 4 × 7 = 210 + 28 = 238
47 × 6 = 40 × 6 + 7 × 6 = 240 + 42 = 282
§ 2. Полезно знать на память таблицу умножения до 19 × 9 :
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | 88 | 99 |
12 | 24 | 36 | 48 | 60 | 72 | 84 | 96 | 108 |
13 | 26 | 39 | 52 | 65 | 78 | 91 | 104 | 117 |
14 | 28 | 42 | 56 | 70 | 84 | 98 | 112 | 126 |
15 | 30 | 45 | 60 | 75 | 90 | 105 | 120 | 135 |
16 | 32 | 48 | 64 | 80 | 96 | 112 | 128 | 144 |
17 | 34 | 51 | 68 | 85 | 102 | 119 | 136 | 153 |
18 | 36 | 54 | 72 | 90 | 108 | 126 | 144 | 162 |
19 | 38 | 57 | 76 | 95 | 114 | 133 | 152 | 171 |
Зная эту таблицу, можно умножение например, 147 × 8 выполнить в уме так:
147 × 8 = 140 × 8 + 7 × 8 = 1120 + 56 = 1176
§ 3. Когда одно из умножаемых чисел разлагается на однозначные множители, удобно бывает последовательно умножать на эти множители. Например:
225 × 6 = 225 × 2 × 3 = 450 × 3 = 1350 [4] Умножение на двузначное число
§ 4. Умножение на двузначное число стараются облегчить для устного выполнения, приводя это действие к более привычному умножению на однозначное число.
Когда множимое однозначное, мысленно переставляют множители и выполняют действие, как указано в § 1. Например:
6 × 28 = 28 × 6 = 120 + 48 = 168
§ 5. Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы. Например:
29 × 12 = 29 × 10 + 29 × 2 = 290 + 58 = 348 41 × 16 = 41 × 10 + 41 × 6 = 410 + 246 = 656 (или 41 × 16 = 16 × 41 = 16 × 40 + 16 = 640 + 16 = 656 )
Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами.
§ 6. Если множимое или множитель легко разложить в уме на однозначные числа (напр., 14 = 2 × 7 ), то пользуются этим, чтобы уменьшить один из множителей, увеличив другой во столько же раз (ср. § 3). Например:
45 × 14 = 90 × 7 = 630 [5] Умножение на 4 и на 8
§ 7. Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают. Например:
112 × 4 = 224 × 2 = 448 335 × 4 = 670 × 2 = 1340
§ 8. Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают. Например:
217 × 8 = 434 × 4 = 868 × 2 = 1736
(Еще удобнее: 217 × 8 = 200 × 8 + 17 × 8 = 1600 × 13 = 1736 ).
Деление на 4 и на 8
§ 9. Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам. Например:
76 : 4 = 38 : 2 = 19 236 : 4 = 118 : 2 = 59
§ 10. Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам. Например:
464 : 8 = 232 : 4 = 116 : 2 = 58 516 : 8 = 258 : 4 = 129 : 2 = 64 1 /2 [6] Умножение на 5 и на 25
74 × 5 = 740 : 2 = 370 243 × 5 = 2430 : 2 = 1215
При умножении на 5 числа четного удобнее сначала делить пополам и к полученному приписать ноль. Например:
74 × 5 = 74 / 2 × 10 = 370
72 × 25 = 72 / 4 × 100 = 1800
Если же число при делении на 4 дает остаток, то
при | приписывают |
остатке: | к частному |
1 | 25 |
2 | 50 |
3 | 75 |
Основание приема ясно из того, что
§ 13. Чтобы устно умножить число на 1 1 /2 прибавляют к множимому его половину. Например:
§ 14. Чтобы устно умножить число на 1 1 /4, прибавляют к множимому его четверть. Например:
§ 15. Чтобы устно умножить число на 2 1 /2, к удвоенному числу прибавляют половину множимого. Например:
Другой способ состоит в умножении на 5 и делении пополам:
§ 16. Чтобы устно умножить число на 3 /4 (т. е. чтобы найти 3 /4 этого числа), умножают число на 1 1 /2 и делят пополам. Например:
30 × 3 /4 = 30 + 15 / 2 = 22 1 /2 (или 22,5) Видоизменение способа состоит в том, что от множимого отнимают его четверть или к половине множимого прибавляют половину этой половины. [8] Умножение на 15, на 125, на 75
§ 17. Умножение на 15 заменяют умножением на 10 и на 1 1 /2 (потому что 10 × 1 1 /2 = 15 ). Например:
18 × 15 = 18 × 1 1 /2 × 10 = 270 45 × 15 = 450 + 225 = 675
§ 18. Умножение на 125 заменяют умножением на 100 и на 1 1 /4 (потому что 100 × 1 1 /4 = 125 ). Например:
26 × 125 = 26 × 100 × 1 1 /4 = 2600 + 650 = 3250 47 × 125 = 47 × 100 × 1 1 /4 = 4700 + 4700 / 4 = 4700 + 1175 = 5875
§ 19. Умножение на 75 заменяют умножением на 100 и на 3 /4 (потому что 100 × 3 /4 = 75 ). Например:
18 × 15 = 90 × 3 = 270 26 × 125 = 130 × 25 = 3250
§ 20. Чтобы устно умножить число на 9, приписывают к нему ноль и отнимают множимое. Например:
62 × 9 = 620 — 62 = 600 — 42 = 558 73 × 9 = 730 — 73 = 700 — 43 = 657
§ 21. Чтобы устно умножить число на 11, приписывают к нему ноль и прибавляют множимое. Например:
87 × 11 = 870 + 87 = 957 Деление на 5, на 1 1 /2, на 15
§ 22. Чтобы устно разделить число на 5, отделяют запятой в удвоенном числе последнюю цифру. Например:
68 : 5 = 136 / 10 = 13,6 237 : 5 = 474 / 10 = 47,4
§ 23. Чтобы устно разделить число на 1 1 /2, делят удвоенное число на 3. Например:
§ 24. Чтобы устно разделить число на 15, делят удвоенное число на 30. Например:
240 : 15 = 480 : 30 = 48 : 3 = 16 462 : 15 = 924 : 30 = 30 24 / 30 = 30 4 /5 = 30,8 (или 924 : 30 = 308 : 10 = 30,8 ) [10] Возвышение в квадрат
§ 25. Чтобы возвысить в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например 85), умножают число десятков (8) на него же плюс единица ( 8 × 9 = 72 ) и приписывают 25 (в нашем примере получается 7225). Еще примеры:
25 2 ; 2 × 3 = 6; 625 45 2 ; 4 × 5 = 20; 2025 145 2 ; 14 × 15 = 210; 21025
Прием этот вытекает из формулы
(10x + 5) 2 = 100x 2 + 100x + 25 = 100x (x + 1) + 25
§ 26. Сейчас указанный прием приложим и к десятичным дробям, оканчивающимся цифрой 5:
§27. Так как 0,5 = 1 /2, а 0,25 = 1 /4, то приемом §25 можно пользоваться также и для возвышения в квадрат чисел, оканчивающихся дробью 1 /2:
41 2 = 40 2 + 1 + 2 × 40 = 1601 + 80 = 1681 69 2 = 70 2 + 1 — 2 × 70 = 4901 — 140 = 4761 36 2 = (35 + 1) 2 = 1225 + 1 + 2 × 35 = 1296 Прием удобен для чисел, оканчивающихся на 1, 4, 6 и 9.
[11] Вычисления по формуле (а + b) (а — b) = а 2 — b 2
§ 29. Пусть требуется выполнить устно умножение
Мысленно представляем эти множители в виде (50 + 2) × (50 — 2) и применяем приведенную в заголовке формулу:
(50 + 2) × (50 — 2) = 50 2 — 2 2 = 2496
Подобным же образом поступают во всех вообще случаях, когда один множитель удобно представить в виде суммы двух чисел, другой — в виде разности тех же чисел:
69 × 71 = (70 — 1) × (70 + 1) = 4899 33 × 27 = (30 + 3) × (30 — 3) = 891 53 × 57 = (55 — 2) × (55 + 2) = 3021 84 × 86 = (85 — 1) × (85 + 1) = 7224
§ 30. Указанным сейчас приемом удобно пользоваться и для вычислений следующего рода:
7 1 /2 × 6 1 /2 = (7 + 1 /2) × (7 — 1 /2) = 48 3 /4 11 3 /4 × 12 1 /4 = (12 — 1 /4) × (12 + 1 /4) = 143 15 / 16 [12] Полезно запомнить:
37 × 3 = 111 |
Запомнив это, легко выполнять устно умножение числа 37 на 6, 9, 12 и т. п.
37 × 6 = 37 × 3 × 2 = 222 37 × 9 = 37 × 3 × 3 = 333 37 × 12 = 37 × 3 × 4 = 444 37 × 15 = 37 × 3 × 5 = 555 и т. д.
7 × 11 × 13 = 1001 |
Запомнив это, легко выполнять устно умножения следующего рода:
БЫСТРЫЙ СЧЕТ Тридцать простых приемов устного счета
Тридцать простых приемов устного счета
От составителя
В настоящее время в продаже нет руководств, содержащих наставления к быстрому выполнению счетных операций в уме. Мы сочли поэтому полезным собрать в краткой брошюре наиболее простые и легко усваиваемые приемы быстрого устного счета, Они рассчитаны на средние способности имеют в виду не публичные выступления на эстраде, а потребности повседневной жизни. Пользующиеся книжечкой должны помнить, что успешное овладение ее указаниями предполагает не механическое, а вполне сознательное распоряжение приемами и, кроме того, более или менее продолжительную тренировку. Зато, усвоив рекомендуемые приемы, можно выполнять быстрые расчеты в уме с безошибочностью письменных вычислений.
Умножение на однозначное число
Чтобы устно умножить число на однозначный множитель (например, 27 X выполняют действие, начиная с умножения не единиц, как при письменном умножении, а иначе: умножают сначала десятки множимого (20X8 = 160), затем единицы (7*8 =56) и оба результата складывают.
Полезно знать на память таблицу умножения до 19*9:
2 3 4 5 6 7 8 9 11 22 33 44 55 66 77 88 99 12 24 36 48 60 72 84 96 108 13 26 39 52 65 78 91 104 117 14 28 42 56 70 84 98 112 126 15 30 45 60 75 90 105 120 135 16 33 48 64 80 96 112 128 144 17 34 51 68 85 102 119 136 153 18 36 54 72 90 108 126 144 162 19 39 57 76 95 114 133 152 171
Зная эту таблицу, можно умножение например, 147*8 выполнить в уме так: 147*8-140*8+7*8= 1120 + 56= 1176
Когда одно из умножаемых чисел разлагается на однозначные множители, удобно бывает последовательно умножать на эти множители. Например: 225*6=225*2*3=450*3=1350
Умножение на двузначное число
Умножение на двузначное число стараются облегчить для устного выполнения, приводя это действие к более привычному умножению на однозначное число.
Когда множимое однозначное, мысленно переставляют множители и выполняют действие, как указано в § 1. Например:
Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы. Например:
41*16=41*10+41*6 = 410+246 =656
(или 41*16=16*41 = 16*40+16*1=640+16=656
Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами.
Если множимое или множитель легко разложить в уме на однозначные числа (напр., 14 = 2*7), то пользуются этим, чтобы уменьшить один из множителей, увеличив другой во столько же раз (ср. § 3). Например:
Умножение на 4 и на 8
Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают. Например:
Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают. Например:
(Eще удобнее: 217*8=200*8 +17*8= 1600*13=1736.
Деление на 4 и на 8
Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам. Например:
Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам. Например:
516:8=258:4=129:2= 64 1/2
Умножение на 5 и на 25
Чтобы устно умножить число на 5 умножают его на 10/2, т. е. приписывают к числу ноль и делят пополам. Например:
При умножении на 5 числа четного удобнее сначала делить пополам и к полученному приписать ноль. Например:
Если же число при делении на 4 дает остаток, то прибавляют
при остатке: к частному
Основание приема ясно из того, что
Умножение на 11/2, на 1 1/4, на 21/2, на 3/4
Чтобы устно умножить число на 11/2 прибавляют к множимому его половину. Например:
23*11/2=23 + 111/2 = 341/2 (или 34,5)
Чтобы устно умножить число на 11/4 Прибавляют к множимому его четверть. Например:
58*11/4 = 58+14 1/2=721/2 или 72,5
Чтобы устно умножить число на 21/2. к удвоенному числу прибавляют половину множимого.
Например: 18*21/2.=36+9= 45;
39*21/2.= 78 + 19’1/2.= 971/2 (или 97,5)
Другой способ состоит в умножении на 5 и делении пополам:
Чтобы устно умножить число на 3/4 (т. е. чтобы найти 3/4 этого числа), умножают число на 1 1 / 2 и делит пополам. Например:
30 * 3/4 = (30+15)/2= 221/2 (или 22,5)
Видоизменение способа состоит в том, что от множимого отнимают его четверть или к половине множимого прибавляют половину этой половины.
Умножение на 15, на 125, на 75
Умножение на 15 заменяют умножением на 10 и на 11/2, (потому что 10*11/2 =15) Например:
Умножение на 125 заменяют умножением на 100 и на 11/4 (потому что 100*11/4=125). Например:
26*125 = 26*100*11/4 = 2600 + 650 = 3250
47*125 = 47*100*11/4 = 4700+4700/4= 4700+1175 = 5875
Умножение на 75 заменяют умножением на 100 и на 3/4 (потому что 100*3/4=75). Например:
18*75= 18*100*3/4 =1800* 3/4 =( 1800 + 900)/2=1350
Примечание. Некоторые из приведенных примеров удобно выполняются также приемом § 6
26*125 = 130*25 = 3250
Умножение на 9 и на 11
Чтобы устно умножить число на 9, приписывают к нему ноль и отнимают множимое. Например:
Чтобы устно умножить число на 11, приписывают к нему ноль и прибавляют множимое. Например:
Деление на 5, на 11/2,на 15
Чтобы устно разделить число на 5, отделяют запятой в удвоенном числ-последнюю цифру. Например: