ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Элементы алгебры
С приложением четырехзначных таблиц квадратных корней, логарифмов и антилогарифмов ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ. Глава I. Алгебраическое законоположение
1. Употребление букв. 2. Алгебраическое выражение. 3. Действия, рассматриваемые в алгебре. 4. Знаки, употребляемые в алгебре. 5. Исторические сведения. Глава II. Свойства первых четырех арифметических действий 14
6. Сложение. 7. Вычитание. 8. Умножение. 9. Деление, 10. Замечание. 11. Применения свойств действий. Глава III. Полоамтельиые и отрицательные числа (относительные числа) 23 I. Понятие о величинах,которые можно понимать в двух противоположных смыслах
12. Задача 1-я. Задача 2-я. 13. Другие величины, которые можно понимать в двух противоположных смыслах. 14. Относительные числа. 15. Изображение чисел помощью отрезков прямой. II. Сложение относптельных чисел 23
16. Задача. 17. Сложение двух чисел. 18. Другое выражение правил сложения. 19. Сложение 3-х и более чисел. III. Вычитание относительных чисел 30
20. Задача. 21. Нахождение разности, как одного из двух слагаемых. 22. Правило вычитания. 23. Формулы двойных знаков. 24. Алгебраическая сумма и разность. IV. Главнейшие свойства сложения и вычитания относительныхчисел (§ 25) 34
V. Умножение относительных чисел
26. Определение. 27. Вывод правила. 28. Задача. 29. Произведение трех и более чисел VI. Деление относительных чисел 42
30. Определение. 31. Вывод правила. 32. Другое правило деления. 33. Случаи, когда делимое или делитель есть нуль. VII. Некоторые свойства умножения и деления (§ 34) 43 Глава IV. Понятие об уравнении 47
35. Равенства и нх свойства. 36. Тождества. 37. Уравнение. 38 Примеры решения других уравнений. 39. Два осповных свойства уравнения. 40. Члены уравнения. 41. Перенесение членов уравнения. ОТДЕЛ ВТОРОЙ.
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. Глава I. Многочлен и одпочлеп 53
42. Многочлен и одночлен. 43. Коэффициент. 44. Свойства многочлена. 45. Приведение подобных членов. Глава II. Алгебраическое слоягспне и вычитаппе 57
46. Что представляют собою «алгебраические действия». 47. Сложение одночленов. 43. Сложение многочленов. 49. Вычитание одночленов. 50. Вычитание многочленов. 51. Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак + или — 52. Заключение в скобки части многочлена. Глава III. Алгебраическое умножение 61
53. Умножение степеней одного и того же числа. 54. Умножение одночленов. 55. Умножение многочлена на одночлен. 56. Умножение многоч гена на многочлен. 57. Расположенный многочлен. 58. Умножение расположенных многочленов. 59. Высший и низший члены произведения. 60. Число членов произведения. 61. Некоторые формулы умножения двучленов. 62. Геометрическое истолкование некоторых формул. 63. Применения. Глава IV. Алгебраическое деление 69
64. Деление степеней одпого и того же числа. 65. Нулевой показатель. 66. Деление одночленов. 67. Признаки невозможности деления одночленов. 68. Деление многочлена иа одночлен. 69. Деление одночлена на многочлен. 70. Деление многочлена на многочлен. 71. Примеры. 72. Признаки невозможности деления многочленов. Глава V. Разложение на мпожптелп 75
73. Предварительное замечание. 74. Разложение целых одночленов. 75. Разложение многочленов. Глава VI. Алгебраические дроби 78
76. Отличие алгебраическс. й дроби от арифметической. 77. Основное свойство дроби. 78. Приведение членов дробя к целому виду. 79. Перемена знаков у членов дроби. 80. Сокращение дробей. 81. Приведение дробей к общему знаменателю. 82. Сложение и вычитание дробей. 83. Умножение дробей. 84. Деление дробей. 85. Замечание. 86. Освобождение уравнения от зпамеиателей. Глава VII. Отношение и пропорция. 85
87. Отношение. 88. Зависимость между отношением и его членами. 89. Приведение членов отношения к целому виду. 90. Сокращение отношения. 91. Обратные отношения. 92. Пропорция. 93. Основное свойство числовой пропорции. 94. Обратное предложение. 95. Следствие. 96. Среднее геометрическое. 97. Среднее арифметическое 98. Производные пропорции. 99. Свойство равных отношений. 100. Арифметическое применение. (Пропорциональное деление). 101. Геометрическое применение. Глава VIII. Пропорциональная завпепмость (прямая и обратная) 96
102. Пропорциональная зависимость. 103. Выражение пропорциональной зависимости формулой. 104. Обратная пропорциональная зависимость. 105. Выражение обратной пропорциональной зависимости формулой. ОТДЕЛ ТРЕТИЙ.
ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ. Глава I. Понятие о функции и координатах 101
106. Понятие о функции. 107. График температуры, влажности и пр. 108. Координаты точки. Глава II. График пропорциональной зависимости (прямой и обратной) 107
109. График пропорциональной зависимости. 110. Замечание. 111. Изменение положения прямой в зависимости от коэффициента пропорциональности. 112. График обратной пропорциональности. Глава III. График двучлена первой степени 112
113. Задача. 114. Двучлен первой степени. 115. График двучлена первой степени. 116. Изменение двучлена. 117. Замечания. 118. Построение прямой у=ах+b по двум точкам. 119. Графическое решение уравнения. ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ. НЕРАВЕНСТВА. Глава I. Пересмотр двух основных свойств уравнения 121
120. Предварительное разъяснение. 121. Первое свойство уравнений. 122. Второе свойство. 123. Умножение или деление частей уравнения на одно и то же алгебраическое выражение. 124. Посторонние корни. Глава II. Решения положительные, отрицательные, нулевые и другие 127
125. Обший вид уравнения первой степени с одним неизвестным. 126. Положительное решение. 127. Отрицательное решение. 128. Нулевое решение. 129. Случай, когда уравнение не имеет корня. 130. Как можно понимать равенство х=b/0 131. Неопределенное решение. 132. Графическое истолкование решений ур-ия ах=b. 133. Буквенные уравнения. Глава III. Неравенства первой степени 135
134. Определение понятий «больше» и «меньше». 135. Свойства неравенств. 136. Решение неравенства 1-й степени с одним неизвестным. ОТДЕЛ ПЯТЫЙ.
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ. Глава I. Система двух уравнений с двумя неизвестными 140
137. Задача. 138. Нормальный вид уравнения первой степени с 2 неизвестными. 139. Неопределенность одного уравнения с 2 неизвестными. 140. Система уравнений. 141. Способ подстановки. 142. Способ сложения иди вычитания. 143. Графическое решение. Глава II. Система трех уравнений с тремя неизвестными 147
144. Нормальный вид уравнения первой степени с 3 неизвестными. 145. Неопределенность двух и одного уравнения с 3 неизвестными. 146. Система 3 уравнений с 3 неизвестными. 147. Способ подстановки. 148. Способ сложения или вычитания. Глава III. Некоторые особые случаи систем уравнений 150
149. Случай, когда не все неизвестные входят в каждое уравнение. 150. Случай, когда неизвестные входят в виде дробей: 1/х, 1/у. 151. Случай, когда полезно все данные уравнения сложить. ОТДЕЛ ШЕСТОЙ.
СТЕПЕНИ И КОРНИ. Глава I. Возвышение в квадрат одночленных алгебраических выражении 153
152. Определение степени. 153. Правило знаков при возвышении в ктадрат. 154. Возвышение в квадрат произведения, частного и степени. Глава II. Возвышение в квадрат многочлена 155
155. Вывод формулы. 156. Замечание о знаках. 157. Сокращенное возвышение в квадрат целых чисел. Глава III. Графическое изображение функций: у=х2 и у=ах2
158. График функцкии у=х2. 159. График функции у=ах2. Глава IV. Возвышение в куб и в другие степени одночленных алгебраических выражений 161
160. Правило знаков при возвышении в степень. 161. Возвышение в степень произведения, степени и дроби. Глава V. Графическое изображение функции: у=х3 и у=ах3 162
162. График фумкцип у=х3. 163. Графил функции у=ах3. Глава VI. Основные свойства извлечения корня 164
164. Задачи. 165. Определение корня. 166. Арифметический корень. 167. Алгебраический корень. 168. Извлечение корня из произведения, из степени и из дроби. 169. Простейшие преобразования радикалов. ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ.
ИЗВЛЕЧЕНИЕ ИЗ ЧИСЕЛ КВАДРАТНОГО КОРНЯ. Глава I. Извлечение из данного целого числа наибольшего целого квадратного корня 173
170. Предварительные замечания. 171. Извлечение корня из числа, меньшего 10000 но большего 100. 172. Извлечение корня из числа, большею 10000. Правило. 173. Число цифр в корне. Глава II. Извлечение приближенных квадратных корней 177
174. Признаки точного квадратного корня. 175. Приближенный корень с точностью до 1. 176. Приближенный корень с точностью до 1/10. 177. Приближенный квадратный корень с точностью до 1/100 до 1/1000 и т. д. 178. Описание таблицы квадратных корней. 179. Извлечение квадратных корней из обыкновенных дробей. Глава III. График функцпн: у = Nх 185
180. Обратная функция. 181. График функции у = Nх. 182. Соотношение между графиками прямой и обратной функции. ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ.
ДЕЙСТВИЯ НАД ИРРАЦИОНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ И ВЫРАЖЕНИЯМИ. Глава I. Понятие об иррациональном числе 188
183. Соизмеримые и несоизмеримые с единицею значения величины. 184. Понятие об измерении. 185. Иррациональные числа. 186. Приближенные значения иррационального числа. 187. Определение действий над иррациональными числами. Глава II. Иррациональные значения радикалов 193
188. Приближенные корни любой степени. 189. Иррациональные значения корня. Глава III. Понятие о приближенных вычислениях 193
190. Предварительное замечание. 191. Приближения с недостатком в с избытком. 192. Десятичные приближения. 193. Погрешность приближенной суммы. 194. Погрешность приближенной разности. 195. Погрешность приближенного произведения. 196. Сокращенное умножение. 197. Погрешность приближенного частного. 198. Сокращенное деление. 199. Замечание. 200. Задача на приближенное вычисление. Глава IV. Преобразование иррациональных выражений 210
201. Рациональные и иррациональные алгебраические выражения. 202. Основное свойство радикала. 203. Некоторые преобразования радикалов. 204. Подобные радикалы. 205. Действия над иррациональными одночленами: 1) Сложение н вычитание. 2) Умножение. 3) Деление. 4) Возвышение в степень. 5) Извлечение корня. 206. Действия над иррациональными иногочленамн. 207. Освобождение знаменателя дроби от радикалов. ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ.
НЕКОТОРЫЕ УРАВНЕНИЯ СТЕПЕНИ ВЫШЕ ПЕРВОЙ. Глава I. Квадратное уравнение 218
208. Задача. 209. Нормальный вид кв. уравнения. 210. Решение неполных кв. уравнений. 211. Двучлен второй степени. 212. График двучлена второй степенп. 213. Корни неполных кв. уравнений в графическом изображении. 214. Примеры решения полных кв. уравнений. 215. Формула корней приведенного кв. уравнения. 216. Общая формула корней кв. уравнения. 217. Упрощение формулы, когда b есть четное число. 218. Число корней кв. уравнения. 219. Два свойства корней кв. уравнения. Следствия. Глава II. Трехчлен второй степени в его графическое изображение. 228
220. Трехчлен второй степени. 221. Разложение трехчлена x2+рх+q на множители первой степени относительно х. 222. Разложение трехчлена ах2+bx+с. 223. Следствие (по данным корням составить кв. уравнение). 224. График трехчлена второй степени. 225. Замечание. 226. Графическое решение полного кв. уравнения. 227. Наибольшее и наименьшее значение трехчлена. 228. Изменение трехчлена. 228,2. Решение неравенства второй степени. Глава III. Биквадратное уравнение и некоторые другие 243
229. Биквадратное уравнение. 230. Уравнения, у которых левая часгь разложена на множителей, а правая есть нуль. Глава IV. Иррациональные уравнения 245
231. Задача. 232. Посторонние решения. 233. Возвышение частей уравнения в квадрат молсет ввести посторонние решения. 234. Освобождение уравнения от двух квадр. радикалов. Глава V. Системы уравнений второй степени 248
235. Степень уравнения с несколькими неизвестными. 236. Система двух уравнений, из которых одно первой степени, а другое второй. 237. Система двух уравнений, из которых каждое второй степени. 233. Графический способ решения. ОТДЕЛ ДЕСЯТЫЙ.
ПРОГРЕССИИ. Глава I. Арифметическая прогрессия 254
239. Задача. 240. Определение. 241. Формула любого члена А. П. 242. Формула суммы всех членов. 243. Замечание. 244. Формула суммы квадратов чисел натурального ряда. Глава II. Геометрическая прогрессия 260
245. Задача. 246. Определение. 247. Сравнение Г. П. с А. П. 248. Формула любого члена. 249. Формула суммы всех членов. 250. Пример задачи на Г. П. Глава III. Бесконечные прогрессии 265
251. Некоторые свойства таких прогрессий. 252. Понятие о пределе. 253. Формула предела суммы членов убывающей Г. П. 254. Применение к десятичным периодическим дробям. ОТДЕЛ ОДИННАДЦАТЫЙ.
ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ О ПОКАЗАТЕЛЯХ. Глава I. Целые показатели 272
255. Перечисление свойств целых положительных показателей. 256. Отрицательные целые показатели. 257. Действия над степенями с отрицательными показателями. Глава II. Дробные показатели 275
258. В каком смысле употребляется дробный показатель. 259. Основное свойство дробного показателя. 260. Действия над степенями с дробными показателями. 261. Примеры. Глава III. Некоторые свойства степеней с рациональными показателями (§ 262) 277
Глава IV. Понятие об иррациональном показателе (§ 263) 282
Глава V. Показательная функция 283
264. Определение. 265. График показательной функции. 266. Свойстьа показательной функции. ОТДЕЛ ДВЕНАДЦАТЫЙ.
ЛОГАРИФМЫ. Глава I. Общие свойства логарифмов 283
267. Два действия, обратные возвышению в степень. 268. Определение логарифма. 269. Логарифмическая функция и ее график.
270. Свойства логарифмической функции. 271. Понятие о значении логарифмических таблиц. 272. Нахождение логарифма произведения, частного, степени и корня. 273. Логарифмирование алгебраическою выражения. 274. Замечания. Глава II. Свойства десятичных логарифмов 297
275. Шесть свойств десятичных логарифмов. 276. Следствия. Глава III. Устройство и употребление 4-значных таблиц
277. Системы логарифмов. 278. Преобразование отрицательного логарифма. 279. Описание 4-значных таблиц и нахождение по ним логарифма. 280. Замечание. 281. Предел погрешности приближенного логарифма. 282. Найти число по данному логарифму (таблица антилогарифмов). 283. Замечание. 284. Предел погрешности найденного числа. 285. Действия над лотрифмамн с отрицательными характеристиками. 286. Замена вычитаемых логарифмов слагаемыми. 287. Примеры вычислений. Глава IV. Показательные н логарифмические уравнении (§ 288) 313
Глава V. Сложные проценты, срочные уплаты и срочные взносы. 314
289. Основная задача на сложные проценты- 290. Основная задача на срочные уплаты. 291. Основная задача на срочные взносы. ОТДЕЛ ТРИНАДЦАТЫЙ.
СОЕДИНЕНИЯ И БИНОМ НЬЮТОНА. Глава I. Соединения 319
292. Определение. 293. Размещения. 294. Задаче 295. Перестановки. 296. Задачи. 297. Сочетание. 299. Задачи. 299. Другой вид формулы сочетаний. 300. Свойство сочетаний. Глава II. Бином Ньютона 325
301. Произведение биномов, оыичлющихся юдько шорыми членами. 302. Формула бинома Ньютона. 303. Свойства бинома Ньютона. Таблицы четырехзначных квадратных корней, логарифмов и антилогарифмов 332 ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ.
Предлагаемая книга «Элементы алгебры и анализа» значительно разнится от моей «Элементарной алгебры», переизданной в переработанном виде в 1923 году.
Различие это троякого рода:
во-первых, весь материал заново переработан с целью, главным образом, его упрощения и лучшего распределения;
во-вторых, настоящая книга содержит в себе элементы анализа бесконечно-малых, с его применениями к вопросам элементарной геометрии и начальной механики, и краткие сведения по аналитической геометрии, без которых элементарный курс математики был бы неполным;
в-третьих, в конце книги помещены некоторые дополнения к обычному курсу алгебры, напр. теория соединений, бином Ньютона, однозначность первых четырех алгебраических действий и другие.
Укажу сначала главнейшие изменения первого рода, причем буду держаться той последовательности, в какой материал распределен в предлагаемой книге.
Изложение относительных чисел по возможности упрощено и поставлено раньше понятия об уравнении, чтобы при решении уравнений иметь возможность не стесняться невозможностью вычитания.
Изложение так называемых «алгебраических действий» (тождественных преобразований) проведено теперь более индуктивным путем, чем прежде, и местами сокращено.
Глава «Алгебраические дроби» значительно упрощена (напр. § 77 — основное свойство дроби, § 83 — умножение дробей, и др).
Равным образом упрощено изложение отношений и пропорций; все оно ведется теперь ближе к арифметическим понятиям.
Б главе этой сделано небольшое добавление 6 Производных пропорциях (§ 98), с которыми приходится иметь дело в геометрии, а также указано геометрическое применение свойства равных отношений (к установлению пропорциональности между периметрами и сходственными сторонами подобных многоугольников).
В §§ 103 и 105 выражение формулой пропорциональности (прямой и обратной) сделано более конкретно, чем прежде.
Подробнее изложено о графике двучлена первой степени и о графическом решении уравнения.
Обстоятельнее развито понятие о равносильности уравнений, получаемых из данного уравнения посредством прибавления к его частям одного и того же числа или посредством умножения частей на одно и то же число (§§ 120 — 124).
Добавлено графическое истолкование некоторых случаев решения уравнения ах=b <§ 133). Добавлен параграф (134) о буквенных уравнениях.
С целью лучшего уяснения процесса извлечения корня предварительно указано сокращенное возвышение в квадрат целого числа (§ 157).
Значительно упрощено объяснение извлечения квадратного корня из чисел. Теперь все изложение ведется чисто арифметическим путем, без посредства уравнения с 2 неизвестным!), как это делалось в моей прежней алгебре, и без предварительного установления свойства числа десятков корня п свойства числа его единиц. Для нахождения приближенных квадратных корней дано более практичное правило (§ 177).
В конце книги приложены таблицы квадратных корней четырехзначных чисел как целых, так и дробных; объяснение их помещено в тексте книги (§ 178). Таблицы эти взяты мною из известного английского учебника: «Elementary algebra by Godfrey and Siddons (1924 г.). Они значительно сокращают время и труд при вычислениях и служат хорошим пособием при разъяснении некоторых статей алгебры (наир., при построении графика показательной функции у = 10* при помощи частных значений этой функции при х= 1/2, 1/4, 1/8, 1/46 и т.д. (§ 263)
В главе о приближенных вычислениях, помимо более конкретного изложения, добавлены еще правила сокращенного умножения и сокращенного деления, позволяющие сравнительно быстро находить приближенное произведение и частное с желаемой степенью точности.
Целая функция 2-й степени и ее графическое изображений рассмотрены в предлагаемой книге значительно подробнее, чем прежде (§§ 220 — 228).
При изложении свойств функции у=х2, у=х3 и других (показательной, логарифмической и пр.) прежде всего решаются вопросы о возможности функции, об ее однозначности пли многозначности и (до некоторой степени) об ее непрерывности, и только после разрешения этих вопросов указывается построение их графиков по таблице частных значений.
Вместо обратной функции y=3Nx рассматривается более простая функция y=Nx, на которой впервые для читателя обнаруживается свойство многозначности. При этом наглядно устанавливается соотношение между графиком прямой функции и графиком ей обратной (§ 182); соотношение это в дальнейшем позволяет быстро и легко найти график логарифмической функции по графику показательной и вообще график обратной функции по графику прямой.
При решении иррациональных уравнений более наглядно, чем прежде, разъясняется причина появления посторонних решений (§ 231).
Свойства бесконечных прогрессий, а также первое понятие о пределе изложены в этой книге более просто, чем прежде (§§ 250 — 254).
Сокращено и лишено абстрактности изложение показателей отрицательных и дробных (§§ 256 — 261).
Добавлена глава о некоторых свойствах степени с рациональными показателями для лучшего усвоения свойств показательной и логарифмической функции (§ 262).
Для лучшей иллюстрации свойств десятичных логарифмов К графикам функций у=2x и у=(1/2)x (и им обратных) добавлены еще графики функций у=10х и у=log10х (черт. 61 и 62).
С целью упрощения весь отдел о логарифмах переделан заново.
Оппсанпе таблпц пятизначных логарифмов заменено описанием таблиц четырехзначных, пользование которыми значительно Проще и которые тем не кенее вполне достаточны для практических целей вычисления.
В конце книги приложены и самые таблицы четырехзначных логарифмов и антилогарифмов.
Таким образом, изменения, внесенные теперь в изложение прежнего алгебраического материала, имеют целью главным образом отвлеченность ЗамениЧь конкретностью, Дедуктивньп выводы иллюстрировать индуктивно и тем самым обленить читателю усвоение учебного материала.
Переходя теперь к тем отделам этой кннги, которые можнс назвать новыми (элементы анализа и аналитической геометрии сравнительно с прежним материалом алгебры, надо прежде всего заметить, что содержание этих отделов (а также и эле ментов алгебры) находится в соответствии с появившимися в 1925 году программами-минимуы единой трудовой школы, изданными Научно-методическим советом Ленинградского губоно. Статьи эти следующие:
1. Основные свойства пределов и применение и) к вопросам элементарной геометрии (определение длины окружности, площади круга, боковых поверхностей цилиндра и ко нуса, объемов пирамиды, цилиндра, конуса и шара).
2. Начальные сведения о производных функ циях и их применение к алгебраическому анализу (признаки возрастания и убывания функций, нахождение maximum и minimum, определение вогнутости и выпуклости кривых, исследованне целых функций 2-й и 3-й степеней и пр.) и к вопросам элементарной механики (нахождение скорости по данному закону пространства и нахождение ускорения по данному закону скорости, с иллюстрацией этих применений примерами свободного падения тел и движения тела, брошенного вертикальн вверх).
3. Элементарные сведения по аналитической геометрии (уравнения прямой, окружности, эллипса, гиперболы и параболы) с указанием главнейших свойств кривых 2-го порядка.
4. Понятие о первообразной функции и ее при менения в геометрии (нахождение объемов пирамиды, конуса шарового сегмента) и в механике (нахождение пространства по данной скорости и скорости по данному ускорению). Изложение всех этих статей я стремился выполнить возмоя но конкретнее и нагляднее, при посредстве большого количеств чертежей (число их в книге равно 119). При этом пособиями мл между прочим, служили:
О. Godfrey and A. W. Siddons. Elementary algebra (I924)
W. E. Patersoa. School algebra (1924).
S. Bernard and J. M. Child. A new algebra.
Charles Davison. Highor algebra for colleges.
Dr. Josef Jacob. Arithmetik (1921).
Prof. Dr. G. Ulrich. Ausfiihrlisckes Lehrbuch fiir den Selbst-uuterricht (1922).
Prof. Dr. Chr. Schmehl. Die Algebra und algebraische Analysis.
Behrendsen-Gdtting. Lehrbuch der Mathematik nach modernen Gnindsatzen.
Richard Sappantscbisch. Lehrbuch der Arithmetik und Algebra.
И другие.
В приложении я поместил еще краткое изложение теории соединении и бинома Нью тона и некоторые другие дополнительные статьи, полезные для тех лиц, которые желают углубить и расширить свои сведения по элементарной математике.
Впоследствии я намерен дополнить мои «Элементы» еще и систематически подобранными упражнениями и задачами. ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ.
Пятое издание подразделено на 2 части. К первой части внесены «Элементы алгебры» с приложением четырехзначных таблиц квадратных корней, логарифмов и антилогарифмов; со второй — «Элементы анализа» вместе с некоторыми дополнительными статьями по алгебре.
Сверх того в пятом издании книги введены следующие изменения и дополнения:
1. Сделаны многочисленные исправления и улучшения; напр., Ь § 109 (часть первая) добавлено (мелким шрифтом) обобщение и уточнение доказательства того, что график прямой пропорциональной зависимости есть прямая линия; в § 320 (часть 2-я) глучшено разъяснение недостаточности определения касательной, как такой прямой, которая с кривою имеет только одну бщую точку, н многие другие.
2. Решение неравенства второй степени (с одним неизвестным), помещавшееся в предыдущих изданиях в «добавлениях» в конце книги), перенесено теперь в главу о трехчлене второй тепени (часть l-я, § 228,2), где оно является более уместным.
3. Равным образом, «Соединения® и «Бином Ньютона», помещавшиеся в «добавлениях», отнесены теперь к «Элементам алгебры» и помещены в конце первой части.
4. Совершенно переработано доказательство свойства касательной (что она «сть биссектриса угла, образованного ) к эллипсу, к гиперболе и к параболе (часть вторая, 360. 363 и 369). В настоящем издании это доказательство исходна непосредственно из сбщего определения касательной как предельного положения секущей, тогда как в предыдущих изданиях доказательство основывалось на неверном допущении, что прямая, имеющая с кривой только одну общую точку, есть касательная к этой кривой.
5. Из добавлений теперь выпущена имеющая только теоретическое значение глава: Освобождение уравнения от знаков радикала помощью неопределенных коэффициентов». Она заменена теперь более важными для курса алгебры главами: «Общие формулы решения системы двух уравнений первой степени» (часть 2-я, § 396 и след.), «Понятие о комплексных числах» (§ 400 и след.) и другими.
6. К настоящему изданию изготовлены мною многочисленные упражнения и задачи, расположенные сообразно порядку следования параграфов текста книги. Упражнения к «Элементам алгебры», ввиду ех значительного объема (более 1200 №№) выделены в особую книжку под названием: Упражнения и задачи к «Элементам алгебры». Упражнения же к «Элементам анализа» помещены в конце второй части. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Элементы анализа и некоторые дополнительные статьи алгебры ОТДЕЛ ЧЕТЫРНАДЦАТЫЙ.
УЧЕНИЕ О ПРЕДЕЛАХ. Глава I. Основные свойства пределов 3
307. Определения. 308. Некоторые свойства бесконечно малых чисел.
309. Некоторые свойства пределов. Глава II. Применение учения о пределах к вопросам элементарной геометрия 10
310. Длина окружности. 311. Основная теорема. ЗГА Отношение длины окружности к ее диаметру. 313. Площадь круга. 314. Боковая поверхность цилиндра и конуса. 315. Объем пирамиды. 316. Объемы цилиндра и конуса. 317. Объем шара. 318. Поверхность шара. ОТДЕЛ ПЯТНАДЦАТЫЙ. ПРОИЗВОДНЫЕ функции. Глава I, По съем прямой и кривой 21
319. Подъем прямой. 320. Касательная к кривой. 321. Подъем кривой. 322. Подъем параболы у=х2. Глава II. Понятие о производном функции, как выражающей подъем кривой 27
323. Определение и обозначение. 324. Производная от постоянного числа. 325. Производная от функции y=х. 326. Производная от функции у=ах. 327. Производная от функции у=ах+b. 328. Производная от функции у=ах2. Глава III. Общие обозначения 30
329. Обозначение функциональной зависимости. 330. Общее обозначение приращений. 331. Определение производной как предела отношения приращений. 332. Производная от произведения постоянного числа на функцию. 333. Производная от алгебраической суммы. Глава IV. Признаки возрастания нли убывания функции. Признаки вогнутости или выпуклости кривой 33
334. Maximum и minimum. 335. Признаки возрастная и убывания функции. 336. Признаки выпуклости или вогнутости кривой. Глава V. Производная как средство нахождения скорости и ускорения
337. Средняя скорость. 333. Скорость в данный момент. 334. Свободное падение теда. 340. Соотношение между скоростью и производною. 341. Движение тела, брошенного вертикально вверх. 342. Ускорение при движении (среднее и истинное). 343. Соотношение между ускорением и производной от скорости. Глава VI. Функция третьей степени 47
344. Производная от функции у=x2 и у=аx3. 345. Последование полной функции 3-й степени. Пример 1-й. 346. Пример ‘2-й. 347. Графическое решение кубичного уравнения вида x2+рх+q=0. Глава VII. Функция вида: у=a/x 53
348. Особенности огон функции. 344. Производная от функции у=a/x ОТДЕЛ ШЕСТНАДЦАТЫЙ.
ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Глава I. Прямая линия 60
350. Уравнение прямой. 351. Уравнение прямой, проходящей через данную точку. 352. Уравнение прямой, проходящей через 2 данные точки. Глава II. Окружность и эллипс 63
353. Уравнение окружности. 354. Определение эллипса. 355. Построение эллипса непрерывным движением. 35В. Построение эллипса по точкам. 357. Уравнение эллипса. 358. Следствия. 359. Эллипс как проекция круга. 360. Свойство касательной. 361. Уравнение, касательной. Глава III. Гипербола 72
362. Определение и построение. 363. Уравнение гиперболы. 364. Следствия. 365. Асимптоты. 366. Свойство касательной. 367. Уравнение касательной. 368. Равносторонняя гипербола. Глава IV. Парабола 80
369. Определение и построение. 370. Уравнение параболы. 371. Следствия. 372. Свойство касательной. 373. Уравнение касательной. 374. Следствие. 375. Замечание. ОТДЕЛ СЕМНАДЦАТЫЙ.
ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ. Глава I. Нахождение площади, ограниченной дугою параболы, ординатою п абсциссою 83
376. Способ 1-й посредством нахождения предела суммы бесконечно большого чпела слагаемых площадей. 377. Способ 2-й: посредством вспомогательной функции. Глава II. Первообразная фупкция 92
378. Определение. Глава. III. Некоторые применения первообразной функции 93
379. Нахождение закона пространства по данному закону скорости. 380. Нахождение закона скорости по данному закону ускорения. 381. Объем пирамиды. 382. Объем конуса. 383. Объем шарового сегмента и шара. ОТДЕЛ ВОСЕМНАДЦАТЫЙ.
ДОБАВЛЕНИЯ. Глава I. Однозначность первых четырех алгебраических действий. 98
384. Предварительные разъяснения. 385. Некоторые замечания о многочленах. 386. Лемма. 387. Теорема. 388. Теорема. 389. Однозначность алгебраических сложении, вычитания и умножения многочленов. 390. Однозначность алгебраического деления многочленов. Глава II. Делимость многочлена, целого относительно x, на разность х—а 105
391. Теорема. 392. Теорема. 393, Теорема. 394. Некоторые особые случаи деления двухчленов. 395. Частные, получаемые прн делении x=a на х=а. Глава III. Общие формулы решении системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными 108
398. Общие формулы. 397. Исследование общих формул. 398. Случаи, когда некоторые из коэффициентов равны нулю. Глава IV. Извлечение квадратного корня из многочлена 111
399. Объяснение. 400. Правило. 401. Признаки невозможности излечения. 402. Замечание. Глава V. Преобразование сложного радикала Na+Nb (§ 403) 115 Глава VI. Дополнительные сведения о неравенствах 118
404. Два рода вопросов относительно неравенств. 405. Равносильные неравенства. 408. Теорема 1. 407. Теорема 2. 408. Теорема 3. 409. Доказательство неравенства. Глава VII. Понятие о комплексных числах 124
410. Цель введения в алгебру мнимых чисел. 411. Условия, иод которыми вводят мнимые числа. 412. Приведение N—а к виду а NаN-1. 413. Комплексные числа. 414. Основное начало, которому должны быть подчинены комплексные числа, 415. Действия над комплексными числами. Глава VIII. Некоторые замечания об алгебраических уравнениях. Двучленное уравнение 131
416. Общий вид алгебраического уравнения. 417. Некоторые свойства алгебраического уравнения. 418. Двучленное уравнение. 419. Решение двучленных уравнений третьей степени. 420. Различные значения корня (радикала). Источник Понравилась статья? Поделить с друзьями: Как сделать успешный бизнес на ритуальных услугах Выездной кейтеринг в России Риски бизнеса: без чего не обойтись на пути к успеху алгебра пособие для самообразования никольский алгебра по отношению к математике 6 букв
| 
