Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Калькулятор для решения комплексных чисел.
Сумма, разность, произведение и частное комплексных чисел.
Вычислить n-ую степень и корень n-ой степени.
С помощью данного калькулятора вы можете сложить, вычесть, умножить, и разделить комплексные числа.
Программа решения комплексных чисел не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс нахождения решения.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Числа в действительную или мнимую части можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.
Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так + i
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
Немного теории.
Понятие комплексного числа
Определение.
Комплексными числами называют выражения вида \(а + bi\) где \(a\) и \(a\) — действительные числа, а \(i\) — некоторый символ, для которого по определению выполняется равенство \( i^2=-1 \).
Название «комплексные» происходит от слова «составные» — по виду выражения \(а + bi\). Число \(а\) называется действительной частью комплексного числа \(а + bi\), а число \(b\) — его мнимой частью. Число \(i\) называется мнимой единицей.
Например, действительная часть комплексного числа \(2-3i\) равна \(2\), мнимая часть равна \(-3\).
Запись комплексного числа в виде \(а + bi\) называют алгебраической формой комплексного числа.
Равенство комплексных чисел
Определение.
Два комплексных числа \(a + bi\) и \(c + di\) называются равными тогда и только тогда, когда \(a =c\) и \(b =d\), т. е. когда равны их действительные и мнимые части.
Сложение и умножение комплексных чисел
Операции сложения и умножения двух комплексных чисел определяются следующим образом.
Определения.
Суммой двух комплексных чисел \(a+ bi\) и \(c + di\) называется комплексное число \( (a+c) + (b+d)i \), т.е. \( (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \).
Из двух предыдущих формул следует, что сложение и умножение комплексных чисел можно выполнять по правилам действий с многочленами. Поэтому нет необходимости запоминать эти формулы, их можно получить по обычным правилам алгебры, считая, что \( i^2=-1 \).
Основные свойства сложения и умножения комплексных чисел
1. Переместительное свойство
\( z_1 + z_2 = z_2 + z_1 \),
\( z_1z_2 = z_2z_1 \)
2. Сочетательное свойство
\( (z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3) \),
\( (z_1z_2)z_3 = z_1(z_2z_3) \)
3. Распределительное свойство
\( z_1(z_2 + z_3) = z_1z_2 + z_1z_3 \)
Комплексно сопряженные числа
Отметим, что \( \overline
\( \overline<(\overline
Равенство \( \overline
Модуль комплексного числа
Определение.
Модулем комплексного числа \(z = a + bi\) называется число \( \sqrt
\( |z|=|a+bi| = \sqrt
Из данной формулы следует, что \( |z| \geqslant 0 \) для любого комплексного числа \(z\), причем \(|z|=0\) тогда и только тогда, когда \(z=0\), т.е. когда \(a=0\) и \(b=0\).
Вычитание комплексных чисел
Вычитание комплексных чисел вводится как операция, обратная сложению: для любых комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\) существует, и притом только одно, число \(z\), такое, что
\( z + z_2 = z_1 \),
т.е. это уравнение имеет только один корень.
Деление комплексных чисел
Деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению: для любых комплексных чисел \( z_1 \) и \( z_2 \neq 0 \) существует, и притом только одно, число \( z \), такое, что \( z \cdot z_2=z_1 \) т.е. это уравнение относительно z имеет только один корень, который называется частным чисел \( z_1 \) и \( z_2 \) и обозначается \( z_1:z_2 \), или \( \frac
Комплексное число нельзя делить на ноль.
Частное комплексных чисел \( z_1 \) и \( z_2 \neq 0 \) можно найти по формуле
$$ \frac
Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Комплексная плоскость
Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой. Комплексное число \(a + bi\) можно рассматривать как пару действительных чисел \((a; b)\). Поэтому естественно комплексные числа изображать точками плоскости.
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Комплексное число \(z = a + bi\) изображается точкой плоскости с координатами \((a; b)\), и эта точка обозначается той же буквой \(z\).
Отметим, что точки \(z\) и \(-z\) симметричны относительно точки \(O\) (начала координат), а точки \( z \) и \( \overline
Комплексное число \(z = a+bi\) можно изображать вектором с началом в точке \(O\) и концом в точке \(z\). Этот вектор будем обозначать той же буквой \(z\), длина этого вектора равна \(|z|\).
Геометрический смысл модуля комплексного числа
Выясним геометрический смысл модуля комплексного числа \(|z|\). Пусть \(z = a+bi\). Тогда по определению модуля \( |z|= \sqrt
Например, равенство \(|z| = 4\) означает, что расстояние от точки \(O\) до точки \(z\) равно \(4\). Поэтому множество всех точек \(z\), удовлетворяющих равенству \(|z| = 4\), является окружностью с центром в точке \(O\) радиуса \(4\). Уравнение \(|z| = R\) является уравнением окружности с центром в точке \(O\) радиуса \(R\), где \(R\) — заданное положительное число.
Геометрический смысл модуля разности комплексных чисел
Выясним геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел, т.е. \( |z_1-z_2| \).
Пусть \( z_1 = a_1+b_1i, \; z_2 = a_2+b_2i \)
Тогда \( |z_1-z_2| = |(a_1-a_2) + (b_1-b_2)i| = \sqrt <(a_1+a_2)^2 + (b_1+b_2)^2>\)
Из курса геометрии известно, что это число равно расстоянию между точками с координатами \( (a_1;b_1) \) и \( (a_2;b_2) \).
Итак, \( |z_1-z_2| \) — расстояние между точками \( z_1 \) и \( z_2 \).
Тригонометрическая форма комплексного числа. Аргумент комплексного числа
Определение
Аргумент комплексного числа \( z \neq 0 \) — это угол \( \varphi \) между положительным направлением действительной оси и вектором \(Oz\). Этот угол считается положительным, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательным при отсчете по часовой стрелке.
Связь между действительной и мнимой частями комплексного числа \(z = a + bi\), его модулем \(r=|z|\) и аргументом \( \varphi \) выражается следующими формулами:
\( \left\< \begin
Аргумент комплексного числа \(z = a+bi\) ( \( z \neq 0 \) ) можно найти, решив систему (2). Эта система имеет бесконечно много решений вида \( \varphi =\varphi_0+2k\pi \), где \( k\in\mathbb
Для нахождения аргумента комплексного числа \(z = a+bi\) ( \( z\neq 0 \) ) можно воспользоваться формулой
\( tg \varphi = \large \frac \normalsize \qquad (3) \)
При решении уравнения (3) нужно учитывать, в какой четверти находится точка \(z = a+bi\).
Запись комплексного числа в тригонометрической форме
Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме
С помощью тригонометрической формы записи комплексных чисел удобно находить произведение и частное комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\). Если два комплексных числа записаны в тригонометрической форме :
\( z_1 = r_1(\cos\varphi_1 +i\sin\varphi_1), \quad z_2 = r_2(\cos\varphi_2 +i\sin\varphi_2) \) то произведение этих комплексных чисел можно найти по формуле:
\( z_1z_2 = r_1r_2(\cos(\varphi_1+\varphi_2) +i\sin(\varphi_1+\varphi_2)) \)
Из этой формулы следует, что при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Из этой формулы следует, что модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, а разность аргументов делимого и делителя является аргументом частного.
Формула Муавра
Конвертер величин
Калькулятор комплексных чисел
Калькулятор выполняет арифметические действия над двумя комплексными числами.
Example 2: Найти квадратный корень из представленного в тригонометрической форме числа 10 ∠ 35° с результатом a) в тригонометрической (полярной) форме и b) в алгебраической форме.
Для расчета введите вещественную и мнимую части чисел A и B, при необходимости, нажмите кнопки унарных операций над числами A и B, задайте действие над парой чисел A и B и нажмите кнопку Рассчитать. (Унарными называются операции над одним операндом, например, изменение знака числа.)
Примечание: conj (от англ. conjugation) — функция получения сопряженного числа.
Определения и формулы
Комплексное число — это число в форме суммы вещественной части и мнимой части a + bi. Символ i или j в электротехнике (инженеры-электрики думают не так, как все остальные!) называется мнимой единицей и определяется равенством i² = –1. Иными словами, i — квадратный корень из минус единицы (√–1).
Вещественная часть представляет собой вещественное число, а мнимая часть — мнимое число, которое является квадратным корнем отрицательного числа. Обычно мнимую часть приводят к форме вещественного числа, умноженного на квадратный корень из минус единицы. Например,
Формы представления комплексных чисел
Комплексная плоскость
В математическом представлении комплексных чисел используются два оператора для обозначения вещественной и мнимой части: Re(z) и Im(z). Как и вещественные числа, которые представляются в виде точек на числовой оси, комплексное число z, представляемое в виде пары вещественных чисел (Re(z), Im(z)), может быть представлено в виде точки в двумерном пространстве, то есть, на плоскости, которая называется комплексной плоскостью. Горизонтальная ось комплексной плоскости соответствует вещественной части комплексного числа, а вертикальная ось соответствует мнимой части. Видно, что числовая ось с вещественными числами — то же самое, что горизонтальная ось комплексной плоскости, так как мнимая часть вещественных чисел нулевая.
Представление комплексного числа в полярных координатах
Комплексное число z можно также представить в геометрической форме, которая использует другой тип комплексной плоскости, только не в прямоугольных, а в полярных координатах. В этом представлении используются модуль r радиус-вектора от начала координат до комплексной точки z и угол φ между вектором и горизонтальной осью, измеренный в направлении против часовой стрелки. Этот угол называется аргументом.
Модуль (амплитуда) комплексного числа z = x + iy определяется по формуле:
Аргумент (фаза) φ определяется с помощью функции арктангенса с двумя аргументами arctan2(y,x):
Модуль r и аргументφ совместно представляют комплексные числа в тригонометрической форме, так как их сочетание определяет уникальное положение точки, представляющей комплексное число в полярных координатах. Для получения исходных прямоугольных координат пользуются формулой
Формула Эйлера устанавливает связь между тригонометрическими функциями и комплексной экспоненциальной функцией для любого вещественного числа φ:
Формула Эйлера позволяет представить синусоиду в виде комплексной экспоненциальной функции, что удобно использовать во многих областях науки и техники. Геометрическое представление комплексных чисел широко используется в физике, электротехнике и электронике для представления синусоидальных напряжений и токов. В этом представлении вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза».
Комплексные числа, представляющие синусоидальную функцию с амплитудой A, угловой частотой ω и начальной фазой θ, называются фазорами (англ. phasor от phase vector) или комплексными амплитудами. Больше информации о представлении комплексных чисел, фазорах и преобразовании из алгебраической формы в тригонометрическую и обратно вы найдете в нашем Калькуляторе преобразования алгебраической формы комплексного числа в тригонометрическую.
Отношения и операции с комплексными числами
Комплексные числа подчиняются тем же правилам алгебры, что и обычные числа. Мнимая единица i считается константой и если встречается величина i², она заменяется на –1.
Равенство комплексных чисел
Два комплексных числа x + yi и n + mi равны тогда и только тогда, когда x = n и y = m.
Сопряженное комплексное число
Сопряженное комплексное число находят путем изменения знака его мнимой части. Например, такие два числа являются комплексно-сопряженными:
В физике, электротехнике и электронике сопряженные комплексные числа часто обозначаются звездочкой (z*). Пример сопряженных комплексных чисел (щелкните, чтобы посмотреть его в калькуляторе):
Сложение и вычитание
Сумма и разность двух комплексных чисел m + ni и p + qi определяется как
То есть, для сложения и вычитания комплексных чисел, нужно отдельно сложить или вычесть их действительные и мнимые части. Примеры (щелкните, чтобы посмотреть в калькуляторе):
Умножение
Два комплексных числа в алгебраической форме умножают путем умножения каждой части одного числа на обе части другого числа с последующим комбинированием результатов в вещественную и мнимую части. При умножении используется определение i² = –1. Например:
В тригонометрической форме умножение двух комплексных чисел выполнять проще, так как оно сводится к умножению модулей и сложению аргументов, например:
Получение обратного числа и деление
Обратное число к данному ненулевому комплексному числу z = a + bi в алгебраической форме выполняется путем умножения числителя (в данном случае 1) и знаменателя на число, сопряженное числу в знаменателе (в нашем случае — данному комплексному числу) с последующим преобразованием и упрощением:
Деление двух комплексных чисел a + bi и c + di в алгебраической форме выполняется аналогично, с использованием сопряженного комплексного числа в знаменателе:
Как и умножение, деление двух комплексных числе в тригонометрической форме выполнять удобнее, чем в алгебраической. Модуль частного от деления двух чисел определяется путем деления модуля делимого на модуль делителя. Аргумент (угол) частного определяется путем вычитания аргумента делителя из аргумента делимого. Например:
Квадратный корень
Если мнимая часть комплексного числа отлична от нуля, то квадратные корни этого числа представляют собой пару комплексных чисел с положительным и отрицательным знаками. Положительное число считается главным значением квадратного корня. Этот калькулятор определяет только главное (положительное) значение квадратного корня комплексного числа. Если комплексное число представлено в алгебраической форме, то для вычисления квадратного корня используется следующая формула:
где sgn(y) — функция знака y, определенная следующим образом:
Применение комплексных чисел
Комплексные числа широко используются в науке и технике — в геометрии, теории устойчивости (критерий устойчивости Найквиста — Михайлова, в котором используется построение на комплексной плоскости), в электротехнике и анализе сигналов (периодические сигналы удобно описываются комплексными числами), в квантовой механике, теории относительности и во многих других областях. Изобретенные почти 200 лет назад кватернионы, представляющие собой расширение комплексных чисел, используются в компьютерной графике, инерциальной навигации и теории управления.
Конвертер величин
Калькулятор комплексных чисел
Калькулятор выполняет арифметические действия над двумя комплексными числами.
Example 2: Найти квадратный корень из представленного в тригонометрической форме числа 10 ∠ 35° с результатом a) в тригонометрической (полярной) форме и b) в алгебраической форме.
Для расчета введите вещественную и мнимую части чисел A и B, при необходимости, нажмите кнопки унарных операций над числами A и B, задайте действие над парой чисел A и B и нажмите кнопку Рассчитать. (Унарными называются операции над одним операндом, например, изменение знака числа.)
Примечание: conj (от англ. conjugation) — функция получения сопряженного числа.
Определения и формулы
Комплексное число — это число в форме суммы вещественной части и мнимой части a + bi. Символ i или j в электротехнике (инженеры-электрики думают не так, как все остальные!) называется мнимой единицей и определяется равенством i² = –1. Иными словами, i — квадратный корень из минус единицы (√–1).
Вещественная часть представляет собой вещественное число, а мнимая часть — мнимое число, которое является квадратным корнем отрицательного числа. Обычно мнимую часть приводят к форме вещественного числа, умноженного на квадратный корень из минус единицы. Например,
Формы представления комплексных чисел
Комплексная плоскость
В математическом представлении комплексных чисел используются два оператора для обозначения вещественной и мнимой части: Re(z) и Im(z). Как и вещественные числа, которые представляются в виде точек на числовой оси, комплексное число z, представляемое в виде пары вещественных чисел (Re(z), Im(z)), может быть представлено в виде точки в двумерном пространстве, то есть, на плоскости, которая называется комплексной плоскостью. Горизонтальная ось комплексной плоскости соответствует вещественной части комплексного числа, а вертикальная ось соответствует мнимой части. Видно, что числовая ось с вещественными числами — то же самое, что горизонтальная ось комплексной плоскости, так как мнимая часть вещественных чисел нулевая.
Представление комплексного числа в полярных координатах
Комплексное число z можно также представить в геометрической форме, которая использует другой тип комплексной плоскости, только не в прямоугольных, а в полярных координатах. В этом представлении используются модуль r радиус-вектора от начала координат до комплексной точки z и угол φ между вектором и горизонтальной осью, измеренный в направлении против часовой стрелки. Этот угол называется аргументом.
Модуль (амплитуда) комплексного числа z = x + iy определяется по формуле:
Аргумент (фаза) φ определяется с помощью функции арктангенса с двумя аргументами arctan2(y,x):
Модуль r и аргументφ совместно представляют комплексные числа в тригонометрической форме, так как их сочетание определяет уникальное положение точки, представляющей комплексное число в полярных координатах. Для получения исходных прямоугольных координат пользуются формулой
Формула Эйлера устанавливает связь между тригонометрическими функциями и комплексной экспоненциальной функцией для любого вещественного числа φ:
Формула Эйлера позволяет представить синусоиду в виде комплексной экспоненциальной функции, что удобно использовать во многих областях науки и техники. Геометрическое представление комплексных чисел широко используется в физике, электротехнике и электронике для представления синусоидальных напряжений и токов. В этом представлении вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза».
Комплексные числа, представляющие синусоидальную функцию с амплитудой A, угловой частотой ω и начальной фазой θ, называются фазорами (англ. phasor от phase vector) или комплексными амплитудами. Больше информации о представлении комплексных чисел, фазорах и преобразовании из алгебраической формы в тригонометрическую и обратно вы найдете в нашем Калькуляторе преобразования алгебраической формы комплексного числа в тригонометрическую.
Отношения и операции с комплексными числами
Комплексные числа подчиняются тем же правилам алгебры, что и обычные числа. Мнимая единица i считается константой и если встречается величина i², она заменяется на –1.
Равенство комплексных чисел
Два комплексных числа x + yi и n + mi равны тогда и только тогда, когда x = n и y = m.
Сопряженное комплексное число
Сопряженное комплексное число находят путем изменения знака его мнимой части. Например, такие два числа являются комплексно-сопряженными:
В физике, электротехнике и электронике сопряженные комплексные числа часто обозначаются звездочкой (z*). Пример сопряженных комплексных чисел (щелкните, чтобы посмотреть его в калькуляторе):
Сложение и вычитание
Сумма и разность двух комплексных чисел m + ni и p + qi определяется как
То есть, для сложения и вычитания комплексных чисел, нужно отдельно сложить или вычесть их действительные и мнимые части. Примеры (щелкните, чтобы посмотреть в калькуляторе):
Умножение
Два комплексных числа в алгебраической форме умножают путем умножения каждой части одного числа на обе части другого числа с последующим комбинированием результатов в вещественную и мнимую части. При умножении используется определение i² = –1. Например:
В тригонометрической форме умножение двух комплексных чисел выполнять проще, так как оно сводится к умножению модулей и сложению аргументов, например:
Получение обратного числа и деление
Обратное число к данному ненулевому комплексному числу z = a + bi в алгебраической форме выполняется путем умножения числителя (в данном случае 1) и знаменателя на число, сопряженное числу в знаменателе (в нашем случае — данному комплексному числу) с последующим преобразованием и упрощением:
Деление двух комплексных чисел a + bi и c + di в алгебраической форме выполняется аналогично, с использованием сопряженного комплексного числа в знаменателе:
Как и умножение, деление двух комплексных числе в тригонометрической форме выполнять удобнее, чем в алгебраической. Модуль частного от деления двух чисел определяется путем деления модуля делимого на модуль делителя. Аргумент (угол) частного определяется путем вычитания аргумента делителя из аргумента делимого. Например:
Квадратный корень
Если мнимая часть комплексного числа отлична от нуля, то квадратные корни этого числа представляют собой пару комплексных чисел с положительным и отрицательным знаками. Положительное число считается главным значением квадратного корня. Этот калькулятор определяет только главное (положительное) значение квадратного корня комплексного числа. Если комплексное число представлено в алгебраической форме, то для вычисления квадратного корня используется следующая формула:
где sgn(y) — функция знака y, определенная следующим образом:
Применение комплексных чисел
Комплексные числа широко используются в науке и технике — в геометрии, теории устойчивости (критерий устойчивости Найквиста — Михайлова, в котором используется построение на комплексной плоскости), в электротехнике и анализе сигналов (периодические сигналы удобно описываются комплексными числами), в квантовой механике, теории относительности и во многих других областях. Изобретенные почти 200 лет назад кватернионы, представляющие собой расширение комплексных чисел, используются в компьютерной графике, инерциальной навигации и теории управления.