Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа
Комплексными числами называются выражения вида
где a и b− вещественные числа, i− некоторый символ, удовлетворяющий следующему равенству: i 2 =−1.
Комплексное число можно представить как упорядоченная пара вещественных чисел.
Определение 1. Комплексными числами называются упорядоченные пары вещественных чисел, для которых понятия равенства, суммы, произведения и отожествления некоторых пар с вещестенными числами подчиняются следующим правилам:
1. Пары (a,b) и (c,d) считаются равными тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты:
 |
2. Суммой пар (a, b) и (c, d) называется пара (a+c, b+d), т.е.
3. Произведение пар (a, b) и (c, d) называется пара (ac−bd, ad+bc), т.е.
4. Пара (a, 0) отождествляется с вещественным числом a, т.е. (a, 0)=a.
Правило 4 определения 1 представляет связь между вещественными и комплексными числами. Точнее указывает на то, что множество вещественных чисел является частью комплексных чисел.
Сопоставим правило 4 с 1. Пусть вещественные числа a и c равны, тогда по правилу 4 этим числам соответствуют комплексные числа (a, 0) и (c, 0). Поскольку a=c, имеем (a, 0)=(c, 0), т.е. выполнено правило 1.
Сопоставим правило 4 с 2. Сумма пар (a, 0) и (c, 0) согласно правилу 2 равна (a, 0)+(c, 0)=(a+c, 0), которая, согласно правилу 4 отождествляется с суммой вещественных чисел a и c.
Сопоставим правило 4 с 3. Согласно правилу 3 произведение пар (a, 0) и (c, 0) равно (a, 0)(c, 0)=(ac−0·0, a0+0c)=(ac, 0), которая, согласно правилу 4 отождествляется с произведением вещественных чисел a и c.
Из правил 3 и 4 вытекает следующая формула
Проверим теперь, что привычные свойства вещественных чисел сохраняются при переходе к комплексным числам, т.е. комплексные числа образуют поле.
1.(a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b). (коммутативность сложения). Действительно, левая часть равна (a+с,b+d), правая часть равна (с+a,d+b). Из коммутативности сложения вещественных чисел следует, что левая и правая части равны.
2. ((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a,b)+((c,d)+(e,f)) (ассоциативность сложения). Действительно, из ассоциативности сложения вещественных чисел следует, что левая и правая части равны (a+c+e, b+d+f).
3. (a,b)+(0, 0)=(a,b). Следовательно пара (0, 0) (отожествляемая с вещественным числом 0) соответствует нулю при сложении пар.
4. (a,b)+ (−a,−b)=(0, 0). Т.е. для кажддой пары (a,b) существует противоположная пара (−a,−b).
5. (a,b)(c,d)=(c,d)(a,b)(коммутативность множения). Действительно, левая часть равна (ac−bd, ad+bc), правая часть равна (ca−db, da+cb). Следовательно они равны.
Проверм свойство 6. Левая часть уравнения равна
   |
Правая часть уравнения равна
   |
Следовательно левая и правая части равны.
Из коммутативности умножения следует справедливость свойства 6′.
7. 
(ассоциативность умножения).
     |
Правая часть равна
     |
Левая и правая части равны. Следовательно свойство 7 выполняется.
8. 
.
Свойство 8 определяет пару (1, 0), которая отожествляется с вещественным числом 1.
Итак из свойств 1−8 следует, что комплексные числа составляют коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.
Умножив сопряженные пары
  |
 |
является обратной парой (и обозначается через (a, b) −1 ), т.е. выполняется следующее равенство
   |
Представим следующее свойство.
9. Для любой пары (a,b) отличной от нуля, существует обратная (a, b) −1 :
  |
Итак, свойства 1−9 показывают что комплексные числа образуют поле.
Алгебраическая форма записи комплексного числа
Представим, теперь, комплексное число в алгебаической форме записи. Комплексное число (a,b) можно представить так:
  |
Из правила 3 определения 1 следует:
  |
Таким образом алгебраическая форма комплексного числа имеет вид:
Первая компонента комплексного числа называется вещественной частью комплексного числа α и обозначается Reα, а вторая компонента называется мнимой частью и обозначается Imα. Отметим, что как вещественная часть (a), так и мнимая часть (b) комплексного числа вещественные числа.
Говоря о комплексных числах надо помнить, что вещественные числа являются частным случаем комплексных, которые имеют нулевую вторую компоненту. К примеру a вещественное число, которое соответствует комплексному числу α=a+0i.
Вычитание и деление комплексных чисел
Вычитание и деление определяются как обратные к действиям сложения и умножения.
Утверждение 1. Пусть α и β − комплексные числа. Тогда существует одно и только одно комплексное число γ=(−α)+β так, что α+γ=β.
Доказательство. Возьмем комплексное число γ=(−α)+β и подставим в уравнение α+γ=β. Имеем α+γ=α+(−α)+β=β. Так что γ=(−α)+β удовлетворяет требованию утверждения.
Обратно. Пусть α+γ=β. Добавим в обе части уравнения число −α. Тогда
Таким образом всякое число, отличное от (−α)+β не удовлетворяет требованию утверждения.
Число (−α)+β является разностью чисел β и α и обозначается β−α.
Утверждение 2. Пусть α и β − комплексные числа и α≠0. Тогда существует одно и только одно комплексное число γ=α −1 β так, что αγ=β.
Доказательство. При γ=α −1 β, имеем
Число =α −1 β является частным от деления β на α. Частное обычно записывается так: 
. Как известно значение дроби не меняется при умножении числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число. Поэтому можно записать:
 |
Вычислять частное от деления комплексных чисел удобно умножая числитель и знаменатель на комплексное сопряженное с знаменателем:
где 
вещественное число.
  . |
Для сложения вычитания умножения и деления комплексных чисел, пользуйтесь онлайн калькулятором комплексных чисел.
Геометрическое представление комплексных чисел
 |
Число, противоположное числу α=a+bi будет точкой комплексной плоскости, симметричной с точкой α относительно начала координат (−α=−a−bi).
 |
Сложение и вычитание комплексных чисел можно представить на комплексной плоскости в виде сложения и вычитания радиус векторов соответствующих точек. Сложение векторов α и β выполняется по правилу параллелограма (рис.2).
 |
Вычитание векторов α и β эквивалентна сложению векторов α и −β, поэтому сначала строится противоположная к вектору β, далее слагаются векторы α и −β (рис.3).
Алгебраическая форма записи комплексного числа имеет вид
где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы
Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.
Числа z = x + iy и 
называются комплексно сопряженными.
Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.
Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора 
, изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотношений сторон в прямоугольном треугольнике получаем
Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле
Аргумент определяется из формул:
Используя формулу Эйлера
комплексное число 
можно записать в так называемой показательной (или экспоненциальной) форме
где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол 
( k =0;–1;1;–2;2…).
Пример 7.1. Записать комплексные числа 
в тригонометрической и показательной формах.
На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.
Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = –1. Действительно,
Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:
(7.13) называется первой формулой Муавра.
Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:
На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби 
на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = –1 и формулы разности квадратов.
Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:
Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.
Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:
Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение
На основании формулы (7.14) вычислим их частное
Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:
Аналогично, для z 2 можно записать:
По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:
Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:
в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).
(7.18) называется второй формулой Муавра.
Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.
Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами
Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.
Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.
Формы записи комплексных чисел
Вы будете перенаправлены на Автор24
Выделяют три формы представления (записи) комплексных чисел:
Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:
\[1) z=\sqrt <2>-\sqrt <3>\cdot i; 2) z=\sqrt <3>\cdot (1+3i).\]
2) Преобразуем исходное число, раскрыв скобки и выполнив необходимые вычисления:
\[z=\sqrt <3>\cdot (1+3i)=\sqrt <3>\cdot 1+\sqrt <3>\cdot 3i=\sqrt <3>+3\sqrt <3>\cdot i\]
Готовые работы на аналогичную тему
Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:
Представить в тригонометрической форме заданные комплексные числа, для которых:
\[1) r=2,\varphi =\pi ; 2) r=0,\varphi =\frac<3\pi > <2>.\]
Вычислим модуль исходного комплексного числа:
Вычислим аргумент исходного комплексного числа:
Подставим полученные значения и получим:
Представить в показательной форме заданные комплексные числа, для которых:
\[1) r=3,\varphi =2\pi ; 2) r=0,\varphi =\frac<\pi > <6>.\]
Представить заданные комплексные числа в показательной форме:
Представить заданные комплексные числа в показательной форме:
\[1) z=4+0\cdot i; 2) z=\sqrt <2>+\sqrt <2>\cdot i.\]
Вычислим модуль исходного комплексного числа:
Вычислим аргумент исходного комплексного числа:
\[\varphi =\arg z=arctg\frac<0> <4>=arctg0=0.\]
Подставим полученные значения и получим:
Вычислим модуль исходного комплексного числа:
Вычислим аргумент исходного комплексного числа:
Подставим полученные значения и получим:
Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:
\[1) z=3\cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi ); 2) z=\frac<1> <\sqrt<2>> \cdot (\cos \frac<\pi > <4>+i\sin \frac<\pi > <4>).\]
Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:
\[z=3\cdot \left(1+0i\right)=3+0\cdot i.\]
Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:
Алгебраическая форма записи комплексного числа имеет вид
VII .1. Формы записи комплексных чисел и действия над ними
где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы
Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.
Числа z = x + iy и называются комплексно сопряженными.
Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.
Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотношений сторон в прямоугольном треугольнике получаем
Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле
Аргумент определяется из формул:
Используя формулу Эйлера
комплексное число можно записать в так называемой показательной (или экспоненциальной) форме
где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол ( k =0;–1;1;–2;2…).
Пример 7.1. Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной формах.
На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.
Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = –1. Действительно,
Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:
(7.13) называется первой формулой Муавра.
Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:
На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = –1 и формулы разности квадратов.
Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:
Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.
Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:
Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение
На основании формулы (7.14) вычислим их частное
Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:
Аналогично, для z 2 можно записать:
По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:
Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:
в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).
(7.18) называется второй формулой Муавра.
Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.
Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами
Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.
Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.