алгебраическую форму перевести в показательную форму

Как преобразовать алгебраическую форму записи величины в показательную

В общем случае алгебраическая форма записи комплексной величины выглядит следующим образом:

Но это математическая запись. В электротехнике принято мнимую единицу обозначать не «i», а буквой «j» (это сделано для того, чтобы не было путаницы с токами, которые чаще всего и обозначаются латинской буквой «i»). Тогда в электротехнике вы скорее всего увидите запись:

При этом мнимая единица может стоять как первым множителем, так и вторым. То есть это же число можно записать:

Что касается показательной формы записи, то в она обычно выглядит так:

Чтобы легко понять как эти формы записи связаны друг с другом, достаточно рассмотреть изображение вектора на комплексной плоскости:

Поскольку тангенс угла есть отношение противолежащего катета к прилежащему:

Можно легко определить нужный угол:

Разберем на практическом примере. Пусть в алгебраической форме задано значение тока:

Теперь рассчитаем угол поворота вектора:

Все весьма несложно. Однако, существует один хитрый момент, который нужно иметь ввиду. Предположим, нам задан задан ток в алгебраической форме I=-3-j3. Построим его на комплексной плоскости для наглядности:

С определением длины вектора трудностей не возникнет. Однако, как только мы попытаемся определить угол, то увидим:

Очевидно, угол здесь не может быть 45 градусов. Он должен быть или минус 135 или плюс 225 градусов. Так происходит из-за того, что в формуле арктангенса оказались два отрицательных числа. Грубо говоря, знак «минус» сокращается и арктангенс показывает тот же угол, что и при положительных значениях. Чтобы избежать такой ошибки, досточно ввести правило на случай отрицательной действительной части:

Итак, простой алгоритм перевода алгебраической формы записи комплексного числа в показательную:

Источник

Алгебраическую форму перевести в показательную форму

Понятия комплексные или мнимые числа впервые начали применяться при решении квадратных уравнений. Когда дискриминант получался меньше нуля (D Онлайн калькулятор комплексных чисел

Программа выполняет вычисления c комплексными числами, представленными в алгебраической или показательной форме, а так же рациональными числами.

Сложение и вычитание комплексных чисел необходимо осуществлять в алгебраической форме, если число представлено в иной форме, нужно перевести его в алгебраическую, воспользовавшись калькулятором, или же вручную по формулам ниже:

Умножение и деление комплексных чисел возможно реализовать как в алгебраической, так и в показательной формах. Но намного практичней осуществлять действие в показательной форме, этот способ займет намного меньше времени при расчете, например, токов короткого замыкания.

Сложение сопряженных чисел:

При делении комплексных чисел в алгебраической форме необходимо избавиться от мнимой составляющей в знаменателе. Для этого числитель и знаменатель домножают на число, сопряженное знаменателю.

Перевод чисел из алгебраической формы в показательную и наоборот возможно осуществить с помощью калькулятора для комплексных чисел, который Вы можете скачать по ссылке. Кстати, именно этим калькулятором я пользовался при расчете комплексных чисел ТОЭ, когда учился в университете. Пользоваться им крайне просто. Для перевода в разные формы используется установка нужного «флажка».

Если на руках имеется реальный калькулятор, который Вы купили в канцелярском магазине, и он обладает возможностью расчета комплексных чисел, то внимаем. Сейчас расскажу как им пользоваться.

1. Чтоб перевести комплексное число 5+3i из алгебраической формы в показательную, нажимаем клавиши в следующей последовательности:

Источник

Комплексные числа

Формы

Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:

Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.

Изображение

Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:

Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:

Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:

Аналогично выполним вычитание чисел:

Выполнить умножение и деление комплексных чисел:

Так, теперь разделим первое число на второе:

Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:

Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:

Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя:

Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные:

В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.

Вычисляем значение модуля:

Найдем чем равен аргумент:

$$ \varphi = arctg \frac<3> <3>= arctg(1) = \frac<\pi> <4>$$

Записываем в тригонометрическом виде:

Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:

Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:

Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:

Источник

Алгебраическую форму перевести в показательную форму

где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Числа z = x + iy и называются комплексно сопряженными.

Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.

Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотно­шений сторон в прямоугольном треугольнике получа­ем

Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле

Аргумент определяется из формул:

Используя формулу Эйлера

комплексное число можно записать в так назы­ваемой показательной (или экспоненциальной) форме

где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол ( k =0;–1;1;–2;2…).

Пример 7.1. Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной формах.

На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.

Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = –1. Действительно,

Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:

(7.13) называется первой формулой Муавра.

Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = –1 и формулы разности квадратов.

Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:

Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.

Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение

На основании формулы (7.14) вычислим их частное

Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:

Аналогично, для z ₂ можно записать:

По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:

Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:

в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).

(7.18) называется второй формулой Муавра.

Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.

Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами

Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.

Источник

Алгебраическую форму перевести в показательную форму

Геометрическая интерпретация комплексного числа – точка (или вектор) на плоскости.

По оси абсцисс расположена ось действительных чисел (положительное направление обозна чено +1), а по оси ординат – ось мнимых чисел (положительное направление обозначено +j).

Проекция вектора на ось +1 – действительная часть, а проекция на ось +j – мнимая часть. Таким образом, алгебраическая форма записи соответствует декартовой (прямоуг ольной) системе координат (обозначим её xy).

Этот же вектор м ожет быть задан и в полярной системе координат. То есть через длину вектора I и угол поворота ψ (обозначим её rθ). Полярной системе координат соответствует показательная форма записи комплексного числа

где I – модуль комплексного числа; ψ – аргумент (или попросту угол)

Обе формы записи (алгебраическая и показательная) используются при расчётах: складывать и вычитать комплексные числа удобно в алгебраической форме записи, а делить и умножать – в показательной. Следовательно, нужно уметь переводить комплексные числа из алгебраической формы записи в показательную (→rθ) и из показательной в алгебраическую (→xy).

Основные операции с комплексными числами

Сложение

Пусть два комплексных числа заданы в алгебраической форме записи

То есть при сложении действительные части складываются с действительными, а мнимые с мнимыми.

Вычитание – аналогично:

Умножение

Пусть два комплексных числа заданы в показательной форме записи

То есть при умножении модули перемножаются, а аргументы складываются

Деление

Пусть два комплексных числа заданы в показательной форме записи

То есть при делении модули делятся, а аргументы вычитаются.

Операции с комплексными числами на инженерных калькуляторах

Первое на что нужно обратить внимание при включении калькулятора это, в каких единицах измеряются углы.

Источник