Министерство
образования и науки Российской Федерации
Федеральное
государственное автономное образовательное
учреждение высшего образования
«Национальный
исследовательский Томский политехнический
Университет»
Инженерная
школа неразрушающего
контроля
и безопасности (ИШНКБ)
12.03.01
«Приборостроение»
ИССЛЕДОВАНИЕ
РЕЗОНАНСА НАПРЯЖЕНИЙ
Лабораторная
работа № 4
по
дисциплине:
Электротехника
| Исполнитель: | |||||
| студент | 1Б92 | Кшинин | 1.05.2021 | ||
| Руководитель: | |||||
| преподаватель | Васильева | ||||
Томск
– 2020
Цель работы.
Исследование
резонанса в цепи с последовательным
соединением катушки индуктивности и
конденсатора при изменении частоты
источника питания.
Пояснения к работе
Резонансом
называют такой режим работы пассивной
цепи, при котором входной ток совпадает
по фазе с входным напряжением, несмотря
на наличие в цепи реактивных элементов.
Если
цепь представляет собой последовательное
соединение двухполюсников, содержащих
реактивные элементы разного характера,
то возникновение резонанса объясняется
взаимной компенсацией реактивных
составляющих напряжений на этих
двухполюсниках. В этом случае говорят
о резонансе напряжений.
Простейший
вариант такого резонанса получается
при последовательном соединении катушки
индуктивности с параметрами R,
L
и конденсатора с емкостью С
(рис. 6.1).
При
питании этой цепи от источника
синусоидального напряжения
в ней протекает ток
,
где
Отсюда
ясно, что ток совпадает по фазе с
напряжением (φ = 0) при условии Х
= 0, т.е. в данном случае при XL
= XC
или ꞷ2LС
= 1. Таким образом, резонанса можно
добиться, изменяя либо частоту, либо
индуктивность, либо емкость. В частности,
если заданы С
и L,
то резонанс получится при угловой
частоте
.
В этом случае будут равны напряжениям
на индуктивности
и емкости
.
Они могут превысить напряжение на входе
цепи U
(равное падению напряжения на активном
сопротивлении
),
если характеристическое сопротивление
контура
окажется больше его активного сопротивления
R
(иными словами, при добротности контура
).
Подготовка к работе
Проработав
теоретический материал, ответить на
вопросы.
-
Какой
режим работы электрической цепи называют
резонансом напряжений?
Резонансом
напряжений называется режим электрической
цепи синусоидального тока с последовательным
соединением резистивного R, индуктивного
L и емкостного. С элементов, при котором
угол сдвига фаз между общим напряжением
(напряжением сети) и током в цепи равен
нулю.
-
Изменением
каких параметров цепи или источника
питания в схеме, изображенной на рис.
6.1, можно добиться резонанса? Записать
его условие для этой схемы.
Изменяя
емкость емкостного элемента или
индуктивность катушки (программа
позволяет). Но в условиях реальной
электрической цепи легче менять частоту
источника питания.
-
Как
по известным параметрам цепи рис. 6.1
вычислить резонансную частоту fРЕЗ?
-
При
каком соотношении параметров цепи
напряжения на реактивных элементах
могут быть значительно больше входного?
Как определить добротность контура?
При
резонансе:
Добротность
контура:
-
Как
по величине входного тока установить,
что достигнут резонанс?
Входной
ток равен напряжению источника напряжения,
деленного на активное сопротивление
цепи.
-
Построить
качественные векторные диаграммы для
схемы рис. 6.1 при трех значениях частоты:
f
= fРЕЗ,
f
< fРЕЗ,
f
> fРЕЗ.
При
f
= fРЕЗ,
:
При
f
< fРЕЗ,
:
При
f
> fРЕЗ,
:
-
Как
меняется знак угла сдвига фаз напряжения
и тока φ при изменении частоты от нуля
и до бесконечности?
При
f
= 0, φ
= -90°(знак “-”).
При
0 < f
< fРЕЗ,
-90° < φ
< 0(знак “-”).
При
f
= fРЕЗ,
φ
= 0(знак “+”).
При
f
> fРЕЗ,
0 < φ
< 90°(знак “+”).
СХЕМА
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
Схема,
показанная на рис. 6.1, питается от
источника синусоидального напряжения
с регулируемой частотой
.
При изменении частоты следует поддерживать
установленное действующее значение
напряжения источника U.
Рис.
6.1.
Катушка
индуктивности представлена в схеме
последовательным соединением R,
L.
Сопротивление R
нужно перед сборкой схемы измерить
омметром. Параметры U,
L,
C
выбираются из табл. 6.1 по варианту,
указанному преподавателем.
Таблица
6.1
| Вариант | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| U | В | 6 | 6 | 6 | 6 | 5 | 5 | 5 | 5 | 1,5 | 1,5 |
| L | мГн | 100 | 100 | 100 | 100 | 40 | 40 | 40 | 40 | 10 | 10 |
| C | мкФ | 1 | 0,47 | 0,22 | 0,1 | 1 | 0,47 | 0,22 | 0,1 | 1 | 0,47 |
Измерение
действующих значений тока и напряжений
осуществляется приборами с пределами
200 мА и 20 В соответственно.
Схема
EWB.
Соседние файлы в папке Электроника 1.1.
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Содержание:
Резонанс токов:
При рассмотрении параллельного соединения катушки и конденсатора был отмечен случай равенства активной и реактивной проводимостей 
Условия возникновения резонанса
Так же как и резонанс напряжений, резонанс токов возникает, когда частота источника энергии равна резонансной частоте ωр, а
Режим электрической цепи при параллельном соединении участков с индуктивностью и емкостью, характеризующийся равенством индуктивной и емкостной проводимостей, называют резонансом токов.
Сначала рассмотрим этот режим для схемы идеализированной цепи (рис. 17.6, а). В этой схеме параллельно резистору R включены идеальные катушки L и конденсатор С, потери энергии в которых не учитываются.
Рис. 17.6. К вопросу о резонансе токов
Реактивные проводимости зависят от частоты вынужденных колебаний. Для рассматриваемой схемы:
активная проводимость
реактивные проводимости
При резонансе токов
Отсюда определяют резонансную частоту:
Выражение для резонансной частоты в данном случае такое же, какое было получено при рассмотрении резонанса напряжений [см. формулу (17.8)] и для частоты собственных колебаний в контуре без потерь.
Резонанс токов, так же как и резонанс напряжений, можно получить изменением параметров L и С или изменением частоты источника энергии.
Резонансные кривые
На рис. 17.6, б показаны зависимости проводимостей от частоты. Полная проводимость цепи Y при резонансной частоте ωр оказывается наименьшей, равной активной проводимости G. При изменении частоты в обе стороны от резонансной полная проводимость увеличивается.
При заданном напряжении источника энергии ток в цепи пропорционален проводимости (рис. 17.6, в): 
, поэтому кривая I(ω) по форме повторяет кривую Y(ω). Состояние резонанса токов характеризуется наименьшей величиной тока в цепи и равенством нулю угла сдвига фаз между напряжением и током (φр = 0).
При резонансе токов отношение тока индуктивного или емкостного к току в неразветвленной части цепи равно отношению волновой проводимости 
к активной проводимости цепи G.
Реактивные проводимости при резонансе
Поэтому
Добротность контура
При параллельном соединении элементов качество резонансной цепи считается тем выше, чем больше отношение 
, которое и в этом случае называется добротностью:
Чем меньше потери энергии в цепи (этому соответствует большая величина R), тем больше добротность.
Параметры реальных катушек и конденсаторов (R, L, С) измеряются и задаются в справочниках применительно к их схемам замещения с последовательным соединением активных и реактивных элементов (см. рис. 14.11, б).
Условие резонанса токов — равенство реактивных проводимостей обеих ветвей 
— остается справедливым, и в этом случае
,
где R1 и R2 — активные сопротивления катушки и конденсатора с потерями.
Приравнивая реактивные проводимости, получим исходное уравнение для определения резонансной частоты
или
откуда
Из «того выражения видно, что резонансная частота зависит от активных сопротивлений катушки и конденсатора. Если потери энергии в катушке и конденсаторе малы (R1 и R2 малы) и ими можно пренебречь, для резонансной частоты получается выражение, найденное раньше для идеализированной цепи.
Компенсация реактивной мощности в электрических сетях с помощью конденсаторов
Было отмечено, что в электрической цепи переменного тока, в которой имеются катушка индуктивности и конденсатор, включенные последовательно или параллельно, общая реактивная мощность цепи всегда меньше, чем реактивная мощность каждого из элементов.
Благодаря взаимному обмену энергией между катушкой и конденсатором и рис. 14.5 источник частично или полностью освобождается от поставки реактивной энергии в цепь.
В этом случае говорят о компенсации реактивной мощности катушки реактивной мощностью конденсатора и наоборот (реактивные мощности QL и QС имеют противоположные знаки). Полная компенсация реактивной мощности имеет место при резонансе.
Компенсация реактивной мощности в электрических сетях имеет большое технико-экономическое значение. Далее кратко рассмотрены общие сведения по этому вопросу и принцип применения конденсаторов для компенсации реактивной мощности.
Реактивная мощность электрических установок
Энергетический процесс в катушке индуктивности, включенной в цепь переменного тока, характеризуется активной мощностью 
и реактивной мощностью 
.
В электрической схеме замещения такая катушка представлена активным сопротивлением R и индуктивностью L, или активной проводимостью G и реактивной проводимостью Y.
В этом отношении катушке индуктивности подобны многочисленные устройства переменного тока: асинхронные двигатели, индукционные нагревательные установки, трансформаторы, воздушные линии и др.
Получая от генераторов электрическую энергию, эти устройства передают или преобразуют ее в другие виды энергии (активная мощность Р), т. е. выполняют те функции, для которых созданы.
Одновременно они обмениваются энергией с источниками (реактивная мощность Q), что является процессом хотя и нежелательным, но неизбежным, так как без магнитного поля и периодического накопления энергии в нем перечисленные устройства работать не могут.
Если реактивная мощность устройства не равна нулю, то отношение 
, а коэффициент мощности 
.
На каждом предприятии одновременно работают электродвигатели (их может быть десятки и сотни), трансформаторы и другие устройства. Чем больше их число и чем меньше их коэффициент мощности, тем больше общая реактивная мощность электрооборудования производственного участка, цеха, всего предприятия.
Величина общей реактивной мощности электрической установки или электрооборудования предприятия в целом зависит еще и от правильного выбора, степени загрузки электродвигателей, трансформаторов, от соблюдения правил эксплуатации электрооборудования.
Далее будет показано, что за счет реактивной мощности потребителей электрический ток в сетях оказывается больше, чем требуется по величине активной нагрузки. С этим связана одна из проблем проектирования и эксплуатации электрических сетей. При передаче электрической энергии, особенно на большие расстояния, из-за наличия индуктивных и емкостных сопротивлений в элементах сети переменного тока возникает также проблема поддержания заданного уровня напряжения на всех приемниках.
Для обеспечения оптимальной величины тока и требуемых величин напряжения в сети необходимо иметь оптимальный баланс реактивных мощностей (индуктивной и емкостной).
Влияние величины реактивной мощности на технико-экономические показатели электроустановок
Для выяснения влияния величины реактивной мощности на экономические показатели электротехнических установок рассмотрим приемник энергии (например, асинхронный электродвигатель), работающий с постоянной активной мощностью при постоянном напряжении в сети.
Ток в приемнике, а следовательно, и в проводах, соединяющих его с источником энергии, при этих условиях зависит от величины реактивной мощности Q:
Чем больше реактивная мощность приемника, тем больший ток должен быть в самом приемнике, в генераторе, соединительных проводах, трансформаторе и других элементах сети электроснабжения.
Мощность тепловых потерь, согласно закону Ленца — Джоуля, пропорциональна квадрату тока и сопротивлению проводов:
Очевидно, чем больше ток приемника, тем больше потери энергии во всех элементах электрической цепи.
Стоимость потерянной энергии входит в эксплуатационные расходы. Уменьшение реактивной мощности приемников ведет к уменьшению их токов, сокращению потерь энергии и эксплуатационных расходов.
Если электрическая установка спроектирована с относительно большей величиной реактивной мощности, то оборудование (коммутационная аппаратура, приборы контроля и т. д.) и провода необходимо выбрать на большие токи, чем при меньшей величине реактивной мощности.
Это значит, что оборудование должно быть установлено относительно больших размеров, а провода — большего сечения. Последнее повлечет за собой увеличение объема зданий, утяжеление фундаментов и опор и т. п.
Уменьшение реактивной мощности приемников энергии сокращает капитальные затраты.
Генераторы электрической энергии и трансформаторы характеризуются номинальной мощностью — произведением номинальных величин напряжения и тока: 
Наиболее полное использование генераторов и трансформаторов соответствует режиму работы с номинальным током при номинальном напряжении (особые случаи, когда допускается некоторая перегрузка оборудования при эксплуатации, здесь не учитываются).
Величина активной мощности генератора равна активной мощности питающихся от него приемников.
Если реактивная мощность приемников равна нулю, то генератор может развивать активную мощность, равную его номинальной мощности , т. е. основная функция генератора — преобразование энергии — может быть выполнена наиболее полно, а первичный двигатель (например, турбина), также рассчитанный на номинальную мощность, будет работать с полной нагрузкой.
При наличии у приемников реактивной мощности активная мощность генератора меньше номинальной, хотя он работает при номинальных напряжении и токе. Таким образом, генератор и первичный двигатель по мощности недогружены, что приводит к снижению их коэффициента полезного действия.
Компенсация реактивной мощности
Из приведенных рассуждений следует, что реактивную мощность установок, потребляющих электрическую энергию, надо по возможности сокращать.
На практике это достигается путем правильного выбора мощности электродвигателей переменного токаи трансформаторов, рациональной эксплуатации их без недогрузки и работы вхолостую. Эти и некоторые другие меры уменьшения реактивной мощности, связанные с выбором и эксплуатацией электрооборудования, называют естественными.
В тех случаях, когда естественные меры не могут обеспечить оптимальной величины реактивной мощности установки, принимают искусственные меры для ее компенсации.
Одной из таких мер является включение параллельно к приемникам батареи конденсаторов.
Для определения мощности и емкости батареи конденсаторов должны быть известны величины напряжения сети U, реактивной мощности установки до компенсации (Q1) и после компенсации (Q2).
Можно установить батарею конденсаторов мощностью QC = Q1, тогда Q2 = 0. Полная компенсация реактивной мощности освобождает полностью сеть от реактивного тока.
Однако технико-экономические расчеты показывают, что полная компенсация в большинстве случаев не является оптимальным решением вопроса, так как компенсационное устройство оказывается более сложным и дорогим, чем при некоторой оптимальной величине реактивной мощности Q2, которую определяют на основе технико-экономического сопоставления вариантов (Определение оптимальной величины Q2, выбор вида компенсирующего устройства и места его установки в сети рассматриваются в специальных курсах).
Мощность батареи конденсаторов
а емкость
Рис. 17.7. К вопросу о компенсации реактивной мощности
Сущность компенсации реактивной мощности с помощью конденсаторов видна из векторной диаграммы (рис. 17.7, б), построенной для схемы (рис. 17.7, а), на которой параллельно приемнику, например асинхронному двигателю (группе двигателей), может быть включена конденсаторная батарея. До включения конденсаторов ток в подводящих проводах Iд отстает по фазе от напряжения на угол φ1. После включения батареи реактивная составляющая I1р тока двигателя частично компенсируется емкостным током IC, в связи с чем ток в подводящих проводах уменьшается до I, а угол сдвига фаз — до φ2 (в обменном энергетическом процессе между генератором и приемником участвует меньшее количество электромагнитной энергии).
Активная составляющая тока в проводах не изменяется, следовательно, по активной мощности режим цепи остается прежним:
Ток батареи конденсаторов имеет величину
где Р — активная мощность приемника (в данном случае двигателя);
Емкость батареи конденсаторов
Мощность батареи конденсаторов
Нетрудно заметить, что мощность конденсаторов можно найти, не подсчитывая тока IC:
Задача 17.7.
К трансформатору номинальной мощностью 
и номинальным напряжением 220 В подключена группа электродвигателей, общая активная мощность которых 
при частоте 
(рис. 17.8, а). Если параллельно группе двигателей включить батарею конденсаторов, реактивная мощность установки (двигатели — батарея конденсаторов) уменьшится и соответственно уменьшится нагрузка трансформатора.
Определить емкость и мощность батареи конденсаторов и дополнительную осветительную нагрузку, которые нужно подключить к трансформатору так, чтобы реактивная мощность установки уменьшилась до величины, при которой коэффициент мощности 
при полной загрузке трансформатора.
Определить емкость и мощность батареи конденсаторов в том случае, когда 
при отсутствии дополнительной осветительной нагрузки.
Решение. 1. В первоначальном режиме трансформатор был загружен до номинальной мощности
Дополнительную осветительную нагрузку можно присоединить только за счет разгрузки трансформатора от части реактивной мощности путем включения батареи конденсаторов.
Согласно условию задачи, трансформатор после компенсации части реактивной мощности остается полностью загруженным, следовательно, при неизменном напряжении ток трансформатора должен остаться прежним: 
Рис. 17.8. К задаче 17.7
Из векторной диаграммы (рис. 17.8, б) следует выражение для тока конденсатора:
при 
при 
Ток установки до компенсации реактивной мощности
Ток батареи конденсаторов
Емкость батареи конденсаторов
Мощность батареи конденсаторов
Активный ток дополнительной осветительной нагрузки
Мощность осветительной нагрузки
2. При отсутствии дополнительной осветительной нагрузки необходимый ток в батарее конденсаторов (рис. 17.8, в)
Емкость батареи конденсаторов
Мощность батареи конденсаторов
- Трехфазные симметричные цепи
- Трехфазные несимметричные цепи
- Вращающееся магнитное поле
- Электрические цепи синусоидального тока
- Соединение звездой и треугольником в трехфазных цепях
- Принцип действия асинхронного и синхронного двигателей
- Метод симметричных составляющих
- Цепи периодического несинусоидального тока
Резонансом называется такой режим работы цепи, включающей в себя индуктивные
и емкостные элементы, при котором ее входное сопротивление (входная проводимость)
вещественно. Следствием этого является совпадение по фазе тока на входе цепи
с входным напряжением.
Резонанс в цепи с последовательно соединенными элементами
(резонанс напряжений)
Для цепи на рис.1 имеет место
где
 ; | (1) |
 . | (2) |
В зависимости от соотношения величин 
и 
возможны три различных случая.
1. В цепи преобладает индуктивность, т.е. 
, а следовательно,
. Этому режиму соответствует векторная
диаграмма на рис. 2,а.
2.В цепи преобладает емкость, т.е. 
, а значит, 
. Этот случай отражает векторная
диаграмма на рис. 2,б.
3. 
— случай резонанса напряжений
(рис. 2,в).
Условие резонанса напряжений
 . | (3) |
При этом, как следует из (1) и (2), 
.
При резонансе напряжений или режимах, близких к нему, ток в цепи резко возрастает.
В теоретическом случае при R=0 его величина стремится к бесконечности. Соответственно
возрастанию тока увеличиваются напряжения на индуктивном и емкостном элементах,
которые могут во много раз превысить величину напряжения источника питания.
Пусть, например, в цепи на рис. 1 
. Тогда 
, и, соответственно, 
.
Явление резонанса находит полезное применение на практике, в частности в радиотехнике.
Однако, если он возникает стихийно, то может привести к аварийным режимам вследствие
появления больших перенапряжений и сверхтоков.
Физическая сущность резонанса заключается в периодическом обмене энергией между
магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, причем
сумма энергий полей остается постоянной.
Суть дела не меняется, если в цепи имеется несколько индуктивных и емкостных
элементов. Действительно, в этом случае 
, и соотношение (3) выполняется
для эквивалентных значений LЭ и CЭ .
Как показывает анализ уравнения (3), режима резонанса можно добиться путем
изменения параметров L и C, а также частоты. На основании (3) для резонансной
частоты можно записать
 . | (4) |
Резонансными кривыми называются зависимости тока и напряжения от частоты.
В качестве их примера на рис. 3 приведены типовые кривые I(f); 
и 
для цепи на рис. 1 при U=const.
Важной характеристикой резонансного контура является добротность Q,
определяемая отношением напряжения на индуктивном (емкостном) элементе к входному
напряжению:
 , | (5) |
— и характеризующая “избирательные” свойства резонансного контура, в частности
его полосу пропускания 
.
Другим параметром резонансного контура является характеристическое сопротивление,
связанное с добротностью соотношением
 , | (6) |
или с учетом (4) и (5) для 
можно записать:
 . | (7) |
Резонанс в цепи с параллельно соединенными элементами
(резонанс токов)
Для цепи рис. 4 имеем
,
где
 ; | (8) |
 . | (9) |
В зависимости от соотношения величин 
и 
, как и в рассмотренном выше случае
последовательного соединения элементов, возможны три различных случая.
В цепи преобладает индуктивность, т.е. 
, а следовательно, 
. Этому режиму соответствует векторная
диаграмма на рис. 5,а.
В цепи преобладает емкость, т.е. 
, а значит, 
. Этот случай иллюстрирует векторная
диаграмма на рис. 5,б.
— случай резонанса токов (рис.
5,в).
Условие резонанса токов 
или
 . | (10) |
При этом, как следует из (8) и (9), 
. Таким образом, при резонансе
токов входная проводимость цепи минимальна, а входное сопротивление, наоборот,
максимально. В частности при отсутствии в цепи на рис. 4 резистора R ее входное
сопротивление в режиме резонанса стремится к бесконечности, т.е. при резонансе
токов ток на входе цепи минимален.
Идентичность соотношений (3) и (5) указывает, что в обоих случаях резонансная
частота определяется соотношением (4). Однако не следует использовать выражение
(4) для любой резонансной цепи. Оно справедливо только для простейших схем с
последовательным или параллельным соединением индуктивного и емкостного элементов.
При определении резонансной частоты в цепи произвольной конфигурации или, в
общем случае, соотношения параметров схемы в режиме резонанса следует исходить
из условия вещественности входного сопротивления (входной проводимости) цепи.
Например, для цепи на рис. 6 имеем
Поскольку в режиме резонанса мнимая часть 
должна быть равна нулю, то условие резонанса имеет
вид
,
откуда, в частности, находится резонансная частота.
Резонанс в сложной цепи
Условие резонанса для сложной цепи со смешанным соединением нескольких индуктивных
и емкостных элементов, заключающееся в равенстве нулю мнимой части входного
сопротивления 
или входной проводимости 
, определяет наличие у соответствующих
этому условию уравнений относительно 
нескольких вещественных корней,
т.е. таким цепям соответствует несколько резонансных частот.
При определении резонансных частот для реактивного двухполюсника аналитическое
выражение его входного реактивного сопротивления 
или входной реактивной проводимости
следует представить в виде отношения
двух полиномов по степеням 
, т.е. 
или 
. Тогда корни уравнения 
дадут значения частот, которые
соответствуют резонансам напряжений, а корни уравнения 
— значения частот, при которых
возникают резонансы токов. Общее число резонансных частот в цепи на единицу
меньше количества индуктивных и емкостных элементов в схеме, получаемой из исходной
путем ее сведения к цепи (с помощью эквивалентных преобразований) с минимальным
числом этих элементов. Характерным при этом является тот факт, что режимы резонансов
напряжений и токов чередуются.
В качестве примера определим резонансные частоты для цепи рис. 7. Выражение
входного сопротивления данной цепи имеет вид
Из решения уравнения 
получаем частоту 
, соответствующую резонансу напряжений,
а из решения уравнения 
— частоту 
, соответствующую резонансу токов.
Литература
- Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил,
С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. - Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические
цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных
специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
Контрольные вопросы и задачи
- Что такое резонанс напряжений, чем он характеризуется?
- Что такое резонанс токов, чем он характеризуется?
- В чем физическая сущность резонансных режимов?
- На основании каких условий в общем случае определяются резонансные частоты?
- В цепи на рис. 1 R=1 Ом; L=10 мГн; С=10 мкФ. Определить резонансную частоту
и добротность контура. - Какие условия необходимы и достаточны, чтобы в цепи на рис. 1 выполнялось
соотношение
? - Определить резонансную частоту для цепи на рис. 7, если в ней конденсатор
С3 заменен на резистор R3.
Ответ: 
.
Ответ: 
.
Что такое резонанс токов и как он возникает
Содержание
- 1 Суть процессов, происходящих при резонансе
- 2 Частотное условие для возникновения РТ
- 3 Расчёт месторасположения частотной точки при РТ
- 4 Как влияет напряжение
- 5 Изменения тока, протекающего в последовательном контуре
- 6 Видео по теме
Следует отметить, что такое явление, как резонанс токов наблюдается только в электрических цепях, которые работают с переменным током. В ней обязательно должны присутствовать элементы индуктивности и ёмкости. В сильноточных электрических контурах режим резонанса распространения не получил, но он активно реализуется в системах современной звукозаписывающей и звуковоспроизводящей техники, поскольку позволяет значительно улучшить частотные характеристики выходного аудиосигнала, не увеличивая мощность исходных компонентов.
Суть процессов, происходящих при резонансе
Резонанс токов и напряжений — процесс, в результате которого происходит усиление амплитуды сигнала. При этом резонанс токов (РТ) является более действенный способом управления, поскольку даже при незначительном росте данного параметра электроцепи амплитуда сигнала существенно увеличивается. Резонанс напряжений подобного эффекта вызвать не может, даже после заметного усложнения схемы устройства.
Резонанс токов возникает в электрической цепи переменного тока, для которой частота электропитания обеспечивает одинаковое значение напряжения на основных элементах схемы — катушке индуктивности L, конденсаторе C и резисторе R. При этом фазы напряжений противоположны. Показатели частотности контура варьируются вследствие изменения абсолютных значений частоты. Таким образом, резонансом тока пользуются, если возникает необходимость создания определённой частотной характеристики конкретного участка цепи.
Условия возникновения резонанса электротоков могут быть реализованы лишь при параллельном соединении катушки индуктивности, конденсатора и резистора. Основные признаки резонанса — это равенство резонансной частоты и частоты источника электротока или индуктивной и емкостной проводимости BL=BC.
Изучая, что такое резонанс токов, следует понимать, что общий ток в электроцепи представляет собой сумму токов в ее разветвлениях. В индуктивной ветви электроток отстает от электронапряжения на ¼ периода, а в емкостной ветви, наоборот, электроток опережает электронапряжение на ¼ периода. Следовательно, электротоки в ветвях сдвинуты по фазе относительно друг друга на ½ периода, то есть пребывают в противофазе. Вектор общего электротока в колебательном контуре равен геометрической сумме векторов элетротоков в каждой из ветвей.
Следовательно, значение модуля электротока определяется так:
Частотное условие для возникновения РТ
В цепи синусоидального тока, которая содержит R, L и C компоненты, можно получить режим, когда показатель индуктивного сопротивления оказывается идентичным по своему значению показателю емкостного сопротивления. Другими словами, XL=XC . Место, где это происходит, называется точкой формирования резонансной частоты (ƒr) электроцепи. Наличие такой точки — это непременное условие резонанса токов.
Резонанс может быть двух видов:
- последовательный;
- параллельный.
Последовательный тип резонанса отличается минимальным сопротивлением при нулевой фазе. Параллельный резонанс появляется при равных по величине сопротивлениях на индуктивности и емкости, но компенсирующих друг друга, поскольку являются противоположно направленными. Параллельный тип более распространён и часто встречается в различных электрических, радиотехнических и электронных устройствах, например, в:
- фильтрующих узлах систем переменного электротока;
- фильтрах, предназначенных для целей шумоподавления;
- настроечных системах радиотелевизионных передающих центров.
Параллельный колебательный контур называют также RLC-контуром. Это связано с аббревиатурой физических величин, свойственных элементам, составляющих данный контур — сопротивления, индуктивности и емкости. Он характеризуется следующими особенностями.
При росте показателей индуктивности или частотных характеристик сигнала суммарное значение индуктивного сопротивления увеличивается. В том случае, когда показатель частоты стремится к бесконечности, реактивное сопротивление индукторов резко возрастает, а участок схемы, где это происходит, ведёт себя как разомкнутая цепь. Однако в противоположном случае может возникнуть обратный эффект, проявляющийся в форме короткого замыкания при нулевом сопротивлении. Это происходит, если катушка индуктивности имеет сопротивление:
- Пропорциональное изменению частотной характеристики.
- Слабо реагирующее на изменения в области низких частот.
- Сильно реагирующее на изменения в области высоких частот.
В таких случаях значение индуктивного (реактивного) сопротивления катушки увеличивается прямо пропорционально росту частотной характеристики. Подобный же эффект наблюдается и на конденсаторе, но в обратной последовательности. Если требуется изменить (увеличить) параметры контура, тогда уменьшают значение емкостного сопротивления.
Если частота электроцепи приближается к бесконечности, то сопротивление на конденсаторах практически принимает нулевое значение. В результате данные компоненты устройства превращаются в стопроцентные проводники переменного тока с сопротивлением равным нулю. Однако при этом происходит мгновенный рост реактивной составляющей сопротивления, и контур становится разомкнутым.
Суммируя, можно придти к заключению, что реактивное сопротивление конденсатора изменяется обратно изменению частоты, причём номинальная ёмкость компонента значения не имеет.
Зависимость значений сопротивления конденсатора от частоты электроцепи представляет собой гиперболическую функцию. При низких значениях частот реактивное сопротивление конденсатора велико, но в случае роста частотной характеристики оно стремительно снижается. Отсюда можно сделать вывод, что значение сопротивления конденсатора зависит от частоты обратно пропорционально.
На выше приведенных графиках видно, что при более высокой частоте наблюдается максимум XL, а при низкой — максимум XC. Следовательно, резонанс появляется при условии, что изменения двух противоположных, но равных по своему значению реактивных сопротивлений, накладываясь друг на друга, нивелируют возникающие особенности прохождения переменного тока слабой мощности, т. е. наблюдается условие XL=XC.
Расчёт месторасположения частотной точки при РТ
Последовательность вычислений приведена ниже:
В случае появления РТ происходит математическое уравновешивание значений реактивных сопротивлений, т. е. справедливым является равенство XL–X C=0. Комбинируя индуктивное и емкостное сопротивление, в цепи можно вызвать короткое замыкание (из-за малой мощности тока разрушения контура обычно не происходит). Сдерживающим фактором считается наличие ненулевого общего сопротивления R электрической цепи, которое называют импедансом.
Для контуров переменного электрического тока сопротивление рассматривают в комплексной форме. В этом случае полное сопротивление цепи, которая содержит активное сопротивление, емкость и индуктивность, представляет собой действительную, а не мнимую часть. Приняв это допущение, импеданс электрической цепи в случае резонансной частоты равен величине активного сопротивления: Z=R.
При РТ импеданс минимален, поэтому понятие полного сопротивления цепи иногда называют динамическим. С преобладанием высоких частот импеданс зависит преимущественно от XC, а при низких — от XL.
Важно, что в ситуации, когда контур содержит компоненты, имеющие емкостное сопротивление, кривая зависимости полного сопротивления от частоты переменного тока всегда отображается в форме гиперболы. Функция может быть несимметричной относительно fr, если влияние индуктивности велико.
В том случае, когда полное сопротивление цепи имеет минимальное значение (а это часто отмечается именно при резонансе токов), проводимость участка приобретает своё наибольшее значение. На практике возникновение подобных ситуаций может привести к опасному явлению, когда РТ многократно увеличивает ток. Устройство при этом, скорее всего, выйдет из строя.
Как влияет напряжение
В последовательном контуре цепи переменного тока напряжение определяется в результате векторного суммирования значений VR, VL и VC. При этом сумма каждых двух из определяемых значений напряжения представляется с поворотом осей на 90 градусов, причём по и против часовой стрелки. Если справедливо равенство VL=–VC, то конечные значения реактивных напряжений снимаются, поэтому напряжение от источника питания поступает исключительно на активное сопротивление. Другие изменения, когда короткое замыкание присутствует (справа) и отсутствует (слева), ясны из рисунка, приведенного ниже.
Ток, который проходит в работающем последовательном контуре, определяется как сумма произведений напряжения, отнесённого к значениям импеданса. В случае резонанса токов значение импеданса минимально. Поэтому РТ в отличие от резонанса электронапряжений является безопасным для электроустановок. Электротоки большой величины возможны в ветвях лишь при наличии больших реактивных проводимостей, то есть, в случае использования больших батарей конденсаторов, мощных реактивных катушек. Ничего необычного в этом нет, поскольку электротоки в ветвях взаимно независимы, их определение основывается на законе Ома.
Изменения тока, протекающего в последовательном контуре
Амплитуда силы тока при резонансе в последовательном контуре является максимальной.
Рассматривая частотную характеристику последовательного резонансного контура, становится ясно, что фактическая величина тока в условиях РТ функционально зависит от ƒr. Вначале ток минимален, при IMAX =IR достигает наибольшего значения, а далее, когда значение ƒr стремится к своему максимальному показателю, вновь уменьшается.
Как следствие, фактическое значение напряжения на обмотках катушки индуктивности L и на пластинах конденсатора C может быть во много раз выше, чем напряжение, которое вырабатывается источником питания. Но при резонансе эти напряжения равны и направлены противоположно друг другу. Поэтому происходит суперпозиция напряжений, что обуславливает возможность практического применения резонанса токов в радиоэлектронных устройствах. Вместе с тем надо помнить, что последовательный резонансный контур действителен лишь для определённых значений ƒr.
Значение наибольшего напряжения в последовательной цепи переменного тока обязательно должно согласовываться с током по фазе. Фазовый угол между напряжением зависит от частоты, если напряжение питания неизменно, а для точки ƒr вообще равен нулю. Соответственно, мощность устройства будет наибольшей.
Определить направление фазового угла можно по текущему значению частоты: если ƒ>ƒr, то фазовый угол следует отсчитывать против часовой стрелки, в противном случае (ƒ<ƒr) — по часовой стрелке.
Когда RLC-цепь управляется от источника с постоянным напряжением, то фактическое значение тока линейно зависит только от полного сопротивления цепи. Таким образом, важным следствием резонанса токов является наибольшее значение мощности, которая требуется для работы устройства. При этом образуются две точки, которые называются точками половинной мощности. Для устройств, занимающихся формированием и обработкой аудиосигналов, эти точки располагаются в зонах, отстоящих на 3 дБ от наибольших частотных границ. При этом в качестве оси симметрии принимают линию, соответствующую 0 дБ.
Для половинной мощности параметр ƒL носит название нижней границы, а ƒН — верхней. Диапазон между этими точками представляет так называемую полосу пропускания (BW). Практически полоса пропускания — это интервал, где реализуется не менее 50% от наибольшей мощности устройства.
Видео по теме
Знание физики и теории этой науки напрямую связано с ведением домашнего хозяйства, ремонтом, строительство и машиностроением. Предлагаем рассмотреть, что такое резонанс токов и напряжений в последовательном контуре RLC, какое основное условие его образования, а также расчет.
Что такое резонанс?
Определение явления по ТОЭ: электрический резонанс происходит в электрической цепи при определенной резонансной частоте, когда некоторые части сопротивлений или проводимостей элементов схемы компенсируют друг друга. В некоторых схемах это происходит, когда импеданс между входом и выходом схемы почти равен нулю, и функция передачи сигнала близка к единице. При этом очень важна добротность данного контура.
Признаки резонанса:
- Составляющие реактивных ветвей тока равны между собой IPC = IPL, противофаза образовывается только при равенстве чистой активной энергии на входе;
- Ток в отдельных ветках, превышает весь ток определенной цепи, при этом ветви совпадают по фазе.
Иными словами, резонанс в цепи переменного тока подразумевает специальную частоту, и определяется значениями сопротивления, емкости и индуктивности. Существует два типа резонанса токов:
- Последовательный;
- Параллельный.
Для последовательного резонанса условие является простым и характеризуется минимальным сопротивлением и нулевой фазе, он используется в реактивных схемах, также его применяет разветвленная цепь. Параллельный резонанс или понятие RLC-контура происходит, когда индуктивные и емкостные данные равны по величине, но компенсируют друг друга, так как они находятся под углом 180 градусов друг от друга. Это соединение должно быть постоянно равным указанной величине. Он получил более широкое практическое применение. Резкий минимум импеданса, который ему свойствен, является полезным для многих электрических бытовых приборов. Резкость минимума зависит от величины сопротивления.
Схема RLC (или контур) является электрической схемой, которая состоит из резистора, катушки индуктивности, и конденсатора, соединенных последовательно или параллельно. Параллельный колебательный контур RLC получил свое название из-за аббревиатуры физических величин, представляющих собой соответственно сопротивление, индуктивность и емкость. Схема образует гармонический осциллятор для тока. Любое колебание индуцированного в цепи тока, затухает с течением времени, если движение направленных частиц, прекращается источником. Этот эффект резистора называется затуханием. Наличие сопротивления также уменьшает пиковую резонансную частоту. Некоторые сопротивление являются неизбежными в реальных схемах, даже если резистор не включен в схему.
Применение
Практически вся силовая электротехника использует именно такой колебательный контур, скажем, силовой трансформатор. Также схема необходима для настройки работы телевизора, емкостного генератора, сварочного аппарата, радиоприемника, её применяет технология «согласование» антенн телевещания, где нужно выбрать узкий диапазон частот некоторых используемых волн. Схема RLC может быть использована в качестве полосового, режекторного фильтра, для датчиков для распределения нижних или верхних частот.
Резонанс даже использует эстетическая медицина (микротоковая терапия), и биорезонансная диагностика.
Принцип резонанса токов
Мы можем сделать резонансную или колебательную схему в собственной частоте, скажем, для питания конденсатора, как демонстрирует следующая диаграмма:
Переключатель будет отвечать за направление колебаний.
Конденсатор сохраняет весь ток в тот момент, когда время = 0. Колебания в цепи измеряются при помощи амперметров.
Направленные частицы перемещаются в правую сторону. Катушка индуктивности принимает ток из конденсатора.
Когда полярность схемы приобретает первоначальный вид, ток снова возвращается в теплообменный аппарат.
Теперь направленная энергия снова переходит в конденсатор, и круг повторяется опять.
В реальных схемах смешанной цепи всегда есть некоторое сопротивление, которое заставляет амплитуду направленных частиц расти меньше с каждым кругом. После нескольких смен полярности пластин, ток снижается до 0. Данный процесс называется синусоидальным затухающим волновым сигналом. Как быстро происходит этот процесс, зависит от сопротивления в цепи. Но при этом сопротивление не изменяет частоту синусоидальной волны. Если сопротивление достаточно высокой, ток не будет колебаться вообще.
Обозначение переменного тока означает, что выходя из блока питания, энергия колеблется с определенной частотой. Увеличение сопротивления способствует к снижению максимального размера текущей амплитуды, но это не приводит к изменению частоты резонанса (резонансной). Зато может образоваться вихретоковый процесс. После его возникновения в сетях возможны перебои.
Расчет резонансного контура
Нужно отметить, что это явление требует весьма тщательного расчета, особенно, если используется параллельное соединение. Для того чтобы в технике не возникали помехи, нужно использовать различные формулы. Они же Вам пригодятся для решения любой задачи по физике из соответствующего раздела.
Очень важно знать, значение мощности в цепи. Средняя мощность, рассеиваемая в резонансном контуре, может быть выражена в терминах среднеквадратичного напряжения и тока следующим образом:
R ср= I2конт * R = (V2конт / Z2) * R.
При этом, помните, что коэффициент мощности при резонансе равен cos φ = 1
Сама же формула резонанса имеет следующий вид:
ω0 = 1 / √L*C
Нулевой импеданс в резонансе определяется при помощи такой формулы:
Fрез = 1 / 2π √L*C
Резонансная частота колебаний может быть аппроксимирована следующим образом:
F = 1/2 р (LC) 0.5
Где: F = частота
L = индуктивность
C = емкость
Как правило, схема не будет колебаться, если сопротивление (R) не является достаточно низким, чтобы удовлетворять следующим требованиям:
R = 2 (L / C) 0.5
Для получения точных данных, нужно стараться не округлять полученные значения вследствие расчетов. Многие физики рекомендуют использовать метод, под названием векторная диаграмма активных токов. При правильном расчете и настройке приборов, у Вас получится хорошая экономия переменного тока.
ЛЕКЦИЯ 6
Резонансные режимы в электрических цепях синусоидального тока.
Резонанс напряжений
Режим работы RLC цепи или LC—цепи, при условии равенства реактивных сопротивлений XC = XL, когда общее напряжение цепи совпадает по фазе с её током 
, называется резонансом напряжения.
XC = XL – условие резонанса
RLC цепь LC цепь.
Признаки резонанса напряжения:
1. Напряжение на входе совпадает по фазе с током, т.е. сдвиг фаз между I и U φ = 0, cos φ = 1
Рекомендуемые материалы
2. Ток в цепи будет наибольшим и как следствие Pmax = I2maxR тоже максимальна, а реактивная мощность равна нулю.
3. Резонансная частота 
4. 
Резонанс можно достигнуть, изменяя L, C или ω.
Векторные диаграммы при резонансе напряжений
LC цепь RLC цепь
Случаи других режимов работы RLC цепи
- Если XL>XC т.е.
U опережает I, значит цепь имеет активно-индуктивный характер
напряжение на катушке больше напряжения на конденсаторе.
Векторная диаграмма
- Если XL<XC , т.е.
U отстает от I, значит цепь имеет активно-емкостной характер
напряжение на конденсаторе больше напряжения на катушке.
Векторная диаграмма
Параллельное соединение элементов в цепи синусоидального тока
На входе параллельной цепи напряжение 
Закон Ома
Эквивалентные сопротивления ветвей:
Запишем эквивалентные проводимости:
; 
по первому закону Кирхгофа: 
где 
, где 
Треугольники проводимостей и токов
алгебраическая форма
G – действительная часть, активная составляющая
B – мнимая часть, реактивная составляющая.
|
Треугольник проводимости |
|
; 
;
;
; 
; 
; 
или 
; 
Треугольник тока
Резонанс токов
Режим, при котором в цепи, содержащей параллельные ветви с индуктивными и емкостными элементами, ток неразветвленного участка цепи совпадает по фазе с напряжением (φ=0), называют резонансом токов.
Условие резонанса токов: 
В1 – реактивная проводимость первой ветви,
В2 – реактивная проводимость второй ветви
Признаки резонанса токов:
- Реактивные составляющие токов ветвей равны IPC = IPL и находятся в противофазе в случае, когда напряжение на входе чисто активное;
- Токи ветвей превышают общий ток цепи, который имеет минимальное значение;
и 
совпадают по фазе
RLC – цепь Векторная диаграмма
LC – цепь Векторная диаграмма
Резонансная частота
 |
Случаи резонансных цепей
цепей
 |
Если R2=0 резонанс наступит, при
Случаи резонанса токов
Случай 1. Один резонанс в цепи, при условии:
Случай 2. Два резонанса в цепи, при определенном соотношении сопротивлений элементов
Случай 3. Нет резонанса в цепи – частота является величиной неопределенной, при
Частотные характеристики колебательного контура
Баланс мощностей в цепях переменного тока
 |
Коэффициент мощности
• Генератор или электрооборудование энергетически выгодно эксплуатировать, если оно совершает максимальную работу. Работа в электрической цепи определяется активной мощностью Р.
• Коэффициент мощности показывает, насколько эффективно используется генератор или электрооборудование
λ=P/S=cosφ≤1
С уменьшением коэффициента мощности стоимость потребляемой электроэнергии возрастает .
Обратите внимание на лекцию «Франко-китайская и японо-китайская войны».
Способы увеличения коэффициента мощности
• Мощность максимальна в случае, когда Р = S, т.е. в случае резистивной цепи.
• Генератор осуществляет только необратимые преобразования энергии и не участвует в колебательных процессах обмена энергией с электромагнитным полем приемников, в режиме максимальной мощности.
• Потребители электрической энергии в основном имеют схему замещения RL элемента, поэтому увеличение коэффициента мощности возможен с помощью компенсации реактивной мощности подключением емкостного элемента (QL—QС), подключение емкостного элемента снижает ток в линии электропередачи, что позволяет уменьшить сечение электропроводов, а это приводит к экономии электропроводящих материалов.
• Значение коэффициента мощности в энергосистемах зависит насколько грамотно эксплуатируется электротехнические установки и приборы.
• сosφ может снижаться, если установки работают в режиме холостого хода, или недогружены.