Какой режим работы электрической цепи называется резонансным

Министерство
образования и науки Российской Федерации

Федеральное
государственное автономное образовательное
учреждение высшего образования

«Национальный
исследовательский Томский политехнический
Университет»

Инженерная
школа неразрушающего

контроля
и безопасности (ИШНКБ)

12.03.01
«Приборостроение»

ИССЛЕДОВАНИЕ
РЕЗОНАНСА НАПРЯЖЕНИЙ

Лабораторная
работа № 4

по
дисциплине:

Электротехника

Исполнитель:
студент группы	1Б92		Кшинин И.Б		1.05.2021
Руководитель:
преподаватель			Васильева О. В.

Томск
– 2020

Цель работы.

Исследование
резонанса в цепи с последовательным
соединением катушки индуктивности и
конденсатора при изменении частоты
источника питания.

Пояснения к работе

Резонансом
называют такой режим работы пассивной
цепи, при котором входной ток совпадает
по фазе с входным напряжением, несмотря
на наличие в цепи реактивных элементов.

Если
цепь представляет собой последовательное
соединение двухполюсников, содержащих
реактивные элементы разного характера,
то возникновение резонанса объясняется
взаимной компенсацией реактивных
составляющих напряжений на этих
двухполюсниках. В этом случае говорят
о резонансе напряжений.

Простейший
вариант такого резонанса получается
при последовательном соединении катушки
индуктивности с параметрами R,
L
и конденсатора с емкостью С
(рис. 6.1).

При
питании этой цепи от источника
синусоидального напряжения

в ней протекает ток

,
где

Отсюда
ясно, что ток совпадает по фазе с
напряжением (φ = 0) при условии Х
= 0, т.е. в данном случае при X_L
= X_C
или ꞷ²LС
= 1. Таким образом, резонанса можно
добиться, изменяя либо частоту, либо
индуктивность, либо емкость. В частности,
если заданы С
и L,
то резонанс получится при угловой
частоте

.
В этом случае будут равны напряжениям
на индуктивности

и емкости

.
Они могут превысить напряжение на входе
цепи U
(равное падению напряжения на активном
сопротивлении

),
если характеристическое сопротивление
контура

окажется больше его активного сопротивления
R
(иными словами, при добротности контура

).

Подготовка к работе

Проработав
теоретический материал, ответить на
вопросы.

1. Какой
   режим работы электрической цепи называют
   резонансом напряжений?

Резонансом
напряжений называется режим электрической
цепи синусоидального тока с последовательным
соединением резистивного R, индуктивного
L и емкостного. С элементов, при котором
угол сдвига фаз между общим напряжением
(напряжением сети) и током в цепи равен
нулю.

1. Изменением
   каких параметров цепи или источника
   питания в схеме, изображенной на рис.
   6.1, можно добиться резонанса? Записать
   его условие для этой схемы.

Изменяя
емкость емкостного элемента или
индуктивность катушки (программа
позволяет). Но в условиях реальной
электрической цепи легче менять частоту
источника питания.

1. Как
   по известным параметрам цепи рис. 6.1
   вычислить резонансную частоту f_РЕЗ?

1. При
   каком соотношении параметров цепи
   напряжения на реактивных элементах
   могут быть значительно больше входного?
   Как определить добротность контура?

При
резонансе:

Добротность
контура:

1. Как
   по величине входного тока установить,
   что достигнут резонанс?

Входной
ток равен напряжению источника напряжения,
деленного на активное сопротивление
цепи.

1. Построить
   качественные векторные диаграммы для
   схемы рис. 6.1 при трех значениях частоты:
   f
   = f_РЕЗ,
   f
   < f_РЕЗ,
   f
   > f_РЕЗ.

При
f
= f_РЕЗ,

:

При
f
< f_РЕЗ,

:

При
f
> f_РЕЗ,

:

1. Как
   меняется знак угла сдвига фаз напряжения
   и тока φ при изменении частоты от нуля
   и до бесконечности?

При
f
= 0, φ
= -90°(знак “-”).

При
0 < f
< f_РЕЗ,
-90° < φ
< 0(знак “-”).

При
f
= f_РЕЗ,
φ
= 0(знак “+”).

При
f
> f_РЕЗ,
0 < φ
< 90°(знак “+”).

СХЕМА
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

Схема,
показанная на рис. 6.1, питается от
источника синусоидального напряжения
с регулируемой частотой

.
При изменении частоты следует поддерживать
установленное действующее значение
напряжения источника U.

Рис.
6.1.

Катушка
индуктивности представлена в схеме
последовательным соединением R,
L.
Сопротивление R
нужно перед сборкой схемы измерить
омметром. Параметры U,
L,
C
выбираются из табл. 6.1 по варианту,
указанному преподавателем.

Таблица
6.1

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
U	В	6	6	6	6	5	5	5	5	1,5	1,5
L	мГн	100	100	100	100	40	40	40	40	10	10
C	мкФ	1	0,47	0,22	0,1	1	0,47	0,22	0,1	1	0,47

Измерение
действующих значений тока и напряжений
осуществляется приборами с пределами
200 мА и 20 В соответственно.

Схема
EWB.

Соседние файлы в папке Электроника 1.1.

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Лекция 8. Цепь с активным сопротивлением, индуктивностью и
ёмкостью. Резонансный режим работы цепи. Резонанс напряжений. Резонанс токов.
Коэффициент мощности.

Цепь с
активным сопротивлением, индуктивностью и ёмкостью.

Цепь  с  активным  сопротивлением, 
индуктивностью  и  емкостью  представляет  собой  общий

случай  последовательного  соединения 
активных  и  реактивных  сопротивлений  и  является

последовательным колебательным контуром.

Рис. а) Цепь с резистором, катушкой
индуктивности и конденсатором, б) Векторная диаграмма цепи, в) треугольник
сопротивлений цепи R,  X_L  и
Х_С

Принимаем фазу  тока нулевой:  i
= Im sin * t ; 

Тогда  u_R=
Um sin *
t;  u_L= Um sin
(* t + /2);
u_С= Um
sin (* t
— /2)

Построим векторную диаграмму при Х_L
>Х_С,
то есть U_L= I Х_L
> U_C= I Х_C

Вектор  результирующего  напряжения  U 
замыкает  многоугольник  векторов  U_R,  U_L и  U_C. 
Вектор  U_L+U_C определяет  напряжение  на  индуктивности и
емкости. Как видно из диаграммы,  это  напряжение  может  быть  меньше 
напряжения  на  каждом  из  участков  в отдельности.  Это  объясняется 
процессом  обмена  энергией  между  индуктивностью  и емкостью.

Так как модуль вектора  U_L+U_C
рассчитывают как разность  действующих  значений  U_L—U_C, то

 и  поэтому

Закон Ома для этой
цепи  при
этом ,

где Z – полное сопротивление цепи.

                                          

Разность  между  индуктивным  и  емкостным 
сопротивлениями  X_L—X_C=X  называют

реактивным  сопротивлением  цепи.

 При  X_L>X_С
реактивное  сопротивление  положительно  и  сопротивление  цепи носит  активноиндуктивный 
характер.  При этом угол сдвига фаз φ>0 положительный.

При  X_L<X_C
реактивное  сопротивление  отрицательно  и сопротивление  цепи  носит  активноемкостный 
характер.  При этом угол сдвига фаз φ<0 отрицательный.

Резонансный
режим работы цепи.

Резонансный  режим  работы – это режим 
при  котором  сопротивление является  чисто  активным.  По  отношению  к 
источнику  питания  элементы  цепи  ведут  себя  в резонансном  режиме  как 
активное  сопротивление,  поэтому  ток  и  напряжение  в  неразветвленной части
совпадают по фазе. Реактивная мощность цепи при этом равна нулю.

Различают резонанс напряжений и резонанс
токов.

Резонанс
напряжений.

Резонанс напряжений происходит в цепи
последовательного колебательного контура, когда ток в цепи совпадает с
напряжением по фазе φ=0^о.

  

                      
а)                                
б)                                              с)

Рис. а) Последовательный резонансный
контур, б) Векторная диаграмма цепи при X_L=X_C, в)
резонансная кривая последовательного контура.

Реактивное сопротивление последовательного
контура равно нулю Х=0 при X_L=X_C.

Так как Х_L
=  L ;   Х_{с =}  1/ C ;  =2f   тогда  

Резонансная
частота    При
резонансе напряжений частота источника равна собственной частоте колебаний 
контура.

Условие резонанса
напряжений:

а) сопротивление
цепи Z = R минимальное и чисто активное;

б) ток цепи
совпадает по фазе с напряжением источника и достигает максимального значения;

в) напряжение на
индуктивной катушке равно напряжению на конденсаторе и каждое в отдельности
может во много раз превышать напряжение на зажимах цепи.

Величину называют
волновым сопротивлением контура.

Резонансная кривая
показывает зависимость действующего значения тока в контуре от частоты
источника при неизменной собственной частоте контура.

Поместим
зависимость индуктивного и ёмкостного сопротивлений от частоты источника на
один график .

                                          

Рис.
Зависимость реактивного сопротивления Х от частоты источника.

При частотах,
близких к f0, реактивное сопротивление мало и ток контура велик.

Резонанс
напряжений широко используется в радиотехнике и электронике для выделения

сигналов
заданной частоты.

Резонанс токов.

Резонанс токов происходит на неразветвлённом
участке цепи параллельного колебательного контура, когда ток  совпадает с
напряжением по фазе φ=0^о.

  

                    
а)                                                   б)

Рис. а)
Параллельный колебательный контур, б) Векторная диаграмма при резонансе токов.

Если IR будет мало, то Iс = ILР

Условие резонанса
тока:

а) полное
сопротивление контура Z максимально и полностью активно,

б) ток в
неразветвлённой части цепи совпадает по фазе с напряжением и очень маленький,

в) реактивная
составляющая тока в катушке равна реактивной составляющей тока в ёмкости.

Для того чтобы ток
I в неразветвленной части цепи совпадал по фазе с напряжением,

реактивная
составляющая тока индуктивной ветви ILp должна быть равна по модулю
току

емкостной ветви IC . Активная составляющая
тока индуктивной ветви ILa оказывается

равной току
источника I. Определим сопротивление контура в предположении R<<XL.

Сформулируем
признаки резонанса токов:

а) сопротивление
контура Zк максимальное
и чисто активное;

б) ток в
неразветвленной части цепи совпадает по фазе с напряжением источника и

достигает
практически минимального значения;

в) реактивная
составляющая тока в катушке равна емкостному току, причем эти токи

могут во много раз
превышать ток источника.

Коэффициент мощности.

По аналогии с
треугольником сопротивлений для последовательного соединения резистора, катушки
индуктивности и конденсатора можно получить треугольник напряжений и мощностей.

 

Рис.
Треугольник сопротивлений и расчёт полного сопротивления

   

Рис.
Треугольник мощностей и расчёт полной мощности

Активная мощность,
развиваемая генератором в номинальном режиме P=Iном Uном cos φ

Полное
использование мощности генератора происходит при cos
φ = 1. При этом активная мощность максимальна и равна 
номинальной полной мощности Sном= Iном Uном

Реальная
электрическая цепь переменного тока обязательно содержит реактивное
сопротивление. Это увеличивает потери на нагрев.

Cos φ называют коэффициентом мощности. 

cos φ = P
/ S –это отношение активной мощности к полной мощности.

Он показывает,
какая часть электрической энергии, вырабатываемая источником переменного тока,
используется на выполнение полезной работы.

 Уменьшение cos φ приводит к увеличению
тепловых потерь в линии передачи, которые растут обратно пропорционально квадрату
коэффициента мощности. Для полного использования номинальной мощности генераторов
и уменьшения тепловых потерь необходимо повышать cosφ приемников энергии до значений, близких к единице (0,95—1,0).

Для повышения  cos
φ параллельно приемнику энергии включают батареи
конденсаторов.

Благодаря этому
источником реактивной энергии для приемника становится емкость и линия

передачи
разгружается от реактивного тока.

На практике к
приемникам с удовлетворительным cos φ относятся в
качестве промышленного привода асинхронные двигатели. Значение cos
φ у них колеблется в пределах 0,1—0,3 при холостом
ходе и 0,8—0,85 при номинальной нагрузке.

Содержание:

Резонанс в электрических цепях:

Явление резонанса можно наблюдать в любых колебательных системах, в том числе механических и электрических. Электрический резонанс возникает при определенных условиях в электрических цепях переменного тока, содержащих индуктивности и емкости.

Изучение электрического резонанса

Изучение электрического резонанса необходимо, так как это явление широко используется в технике электросвязи, а в установках сильного тока, где его возникновение специально не предусматривается, резонанс может оказаться опасным (могут возникнуть перенапряжения и пробой изоляции).

Колебательный контур

Для того чтобы понять резонансные явления, переходные процессы в электрических цепях переменного тока, которые рассматриваются далее, важно иметь представление о процессах в колебательном контуре, состоящем из идеальных катушки и конденсатора, т. е. в контуре без потерь.
Колебательный процесс в таком контуре заключается во взаимном преобразовании электрического и магнитного полей. При этом изменяется энергия полей, поэтому колебательный процесс в контуре с количественной стороны будем, как и раньше, характеризовать изменением энергии.
 

Ток и напряжение в колебательном контуре

Предположим, что конденсатор с емкостью С получил от источника запас энергии 

В первую часть периода (0 — T/4) конденсатор разряжается и в цепи существует ток. В это время в обособленной цепи конденсатор играет роль источника энергии (рис. 17.1, б). В начальный момент ток равен нулю, далее он увеличивается. Увеличение тока в цепи вызывает возникновение э. д. с. самоиндукции e_L и накопление энергии в магнитном поле катушки. Э. д. с. самоиндукции уравновешивает напряжение на конденсаторе:

Напряжение на конденсаторе в процессе разрядки уменьшается, поэтому вызываемый в цепи ток растет все медленнее, соответственно с этим уменьшается и э. д. с. самоиндукции, которая пропорциональна скорости изменения тока. Таким образом, к концу разрядки конденсатора () энергия электрического поля перешла в энергию магнитного ноля и накопилась в количестве

Рис. 17.1. К анализу колебательного контура

С этого момента ток начинает уменьшаться (но не прекращается), сохраняя свое направление. В следующую часть периода (от T/4 до T/2) направление тока сохраняется, потому что э. д. с. самоиндукции при уменьшении тока меняет свой знак, и роль источника энергии переходит к катушке. Уменьшающийся ток теперь является зарядным током конденсатора, заряжающегося в обратном направлении (рис. 17.1, в). Напряжение на конденсаторе увеличивается, уравновешивая теперь э. д. с. самоиндукции:

При увеличении напряжения на конденсаторе его зарядный ток уменьшается все быстрее, в результате чего э. д. с. e_L увеличивается. Таким образом, к концу зарядки конденсатора напряжение на его обкладках достигает наибольшего значения, э. д. с. самоиндукции тоже максимальна, а ток становится равным нулю. Энергия магнитного поля снова перешла в энергию электрического поля . С этого момента рост э. д. с. самоиндукции прекращается и начинается ее уменьшение. Роль источника энергии снова переходит к конденсатору. Начинается третья часть периода (от Т/2 до 3T/4). В рассматриваемом процессе конденсатор второй раз становится источником энергии. Но по сравнению с первым он имеет обратную полярность, поэтому его разрядный ток изменяет направление и далее увеличивается. Снова энергия убывает в электрическом поле и накапливается в магнитном поле (рис. 17.1, г).

В момент времени t = 3T/4 напряжение на конденсаторе и э. д. с. самоиндукции становятся равными нулю, а ток — наибольшим. В последнем отрезке времени (от 3T/4 до Т) процесс протекает в том же порядке, что и во втором, но при обратном направлении тока (рис. 17.1, д).

В момент времени t = Т конденсатор заряжен в том же направлении и тем же количеством энергии, как и при t = 0. Ток переходит через нуль к положительным значениям и далее увеличивается. Процесс повторяется в порядке, рассмотренном ранее.

Характеристики колебательного контура

Энергетический процесс в колебательном контуре имеет периодический характер с периодом Т. Колебания в электрической цепи, не связанной с источником энергии, называют собственными или свободными.
Этот процесс рассмотрен по графикам изменения тока i, напряжения u_C и э.д.с. e_L, которые приняты синусоидальными функциями времени.
Для такого предположения имеется полное основание, так как эти величины взаимно связаны соотношением

Вместе с тем ток в контуре пропорционален скорости изменения заряда конденсатора, причем он увеличивается, когда конденсатор разряжается. Следовательно,

Такая взаимная связь переменных величин говорит о синусоидальном законе изменения тока и напряжения, но при наличии сдвига фаз между ними на 90°, т. е. при


Это можно проверить:



Величину ω₀ в уравнениях тока и напряжения называют угловой частотой собственных колебаний в контуре. Найдем ее, используя равенство наибольшего количества энергии в конденсаторе и катушке:

и связь между амплитудами тока и напряжения:

Сокращая, получим

Частота собственных колебаний

Период собственных колебаний

Из равенства (17.1) вытекает еще одно важное соотношение

Величина, стоящая в знаменателе, имеет размерность сопротивления и называется волновым сопротивлением контура:

Колебательный контур с потерями энергии

Незатухающие колебания в контуре получаются в предположении, что потери энергии отсутствуют, т. е. R = 0.

Если активное сопротивление контура не равно нулю, то запас энергии в контуре сокращается (энергия превращается в тепло), амплитуды тока и напряжения с каждым периодом убывают, как показано на рис. 17.2.
Более детальное исследование колебательного контура показывает, что частота собственных колебаний зависит от активного сопротивления:

При R = 0 это выражение совпадает с (17.2).
При колебания в контуре не возникают, в чем нетрудно убедиться, подставив значение R в формулу (17.7). В этом случае процесс в контуре после подключения конденсатора к катушке является апериодическим, напряжение на конденсаторе с максимальной величины постепенно падает до нуля, а ток сначала растет, а потом тоже падает до нуля, не меняя знака (рис. 17.3).

Рис. 17.2. График изменения тока в колебательном контуре с потерями

Рис. 17.3. Апериодический разряд конденсатора на катушку индуктивности

Резонанс напряжений

При рассмотрении различных режимов электрических цепей был отмечен случай равенства реактивных сопротивлений Х_L = Х_C при последовательном соединении элементов, содержащих индуктивность и емкость.

В этом случае электрическая цепь находится в режиме резонанса напряжений, который характеризуется тем, что реактивная мощность цепи равна нулю, ток и напряжение совпадают по фазе.

Условие возникновения резонанса

Резонанс напряжений возникает при определенной для данной цепи частоте источника энергии (частоте вынужденных колебании), которую называет резонансной частотой ω_р.

При резонансной частоте, как будет показано далее, .
Режим электрической цепи при последовательном соединении участков с индуктивностью и емкостью, характеризующийся равенством индуктивного и емкостного сопротивлений, называют резонансом напряжений.
Резонанс напряжений рассмотрим, сначала на схеме идеализированной цепи (рис. 17.4, а), в которой последовательно с резистором R включены идеальные (без потерь) катушка L и конденсатор С.

Рис. 17.4. К вопросу о резонансе напряжений

Реактивные сопротивления Х_L и Х_C (рис. 17.4, б) зависят от частоты вынужденных колебаний ω:
 
Приравнивая реактивные сопротивления и учитывая, что ω = ω_р, получим
.
Отсюда резонансная частота

В данном случае выражение для резонансной частоты совпадает с формулой (17.3) для частоты собственных колебаний в контуре без потерь.
Основные соотношения между величинами, характеризующими режим электрической цепи и энергетические процессы. Нужно отметить, что в неразветвленной цепи обмен энергией между катушкой и конденсатором совершается через источник энергии, который восполняет потери энергии в активных сопротивлениях.

Резонансные кривые

Резонанс напряжений в цепи можно установить двумя путями: 1) изменением параметров L и С (одного из них или обоих вместе) при постоянной частоте источника или 2) изменением частоты источника энергии при постоянных L и С.

В связи с этим большой практический интерес представляют зависимости напряжений и токов на отдельных элементах цепи от частоты. Эти зависимости называют резонансными кривыми (рис. 17.4, в).

Реактивные сопротивления с изменением частоты меняются, как показано на рис. 17.4, б. При увеличении частоты Х_L увеличивается пропорционально частоте, а Х_C уменьшается по закону обратной пропорциональности.
Соответственно полное сопротивление Z цепи при резонансной частоте ω_р оказывается наименьшим, равным активному сопротивлению R; при частоте полное сопротивление увеличивается с уменьшением частоты за счет роста Х_C; при частотах полное сопротивление растет с увеличением частоты за счет роста Х_L .

Такая зависимость полного сопротивления от частоты определяет характер изменения тока при постоянном напряжении в цепи (рис. 17.4, в). При ток равен нулю, далее с увеличением частоты ток увеличивается и при достигает максимума I_р. Дальнейшее увеличение частоты ведет к постепенному уменьшению тока до нуля при Аналогично изменяется напряжение на активном сопротивлении U_R, которое пропорционально току: .

Напряжение на конденсаторе U_C при равно напряжению на зажимах источника U, так как сопротивление конденсатора  что соответствует разрыву цепи на его зажимах. С ростом частоты U_C увеличивается, достигая наибольшей величины при частоте, несколько меньшей резонансной, и далее уменьшается до нуля при 

Индуктивное напряжение при частоте так как сопротивление Увеличение частоты ведет к увеличению U_L, которое при частоте, несколько большей резонансной, достигает максимума, а затем уменьшается до величины напряжения источника при  когда сопротивление что соответствует разрыву цепи на зажимах катушки.

При частотах, меньших резонансной, реактивное сопротивление цепи имеет емкостный характер (отрицательно), поэтому и угол сдвига фаз в цепи отрицательный. Уменьшаясь с ростом частоты, он становится равным нулю при резонансе , а затем меняет знак и увеличивается при дальнейшем увеличении частоты.

Добротность контура

При резонансе напряжений отношение напряжения на индуктивности или емкости к напряжению, приложенному к цепи (напряжению источника), равно отношению волнового сопротивления к активному. Действительно, при резонансе сопротивления реактивных элементов

Поэтому
 
Из этого выражения следует, что при напряжение на реактивных элементах больше напряжения источника.

Такое превышение может оказаться значительным, если реактивные сопротивления много больше активного, и изоляция катушки или конденсатора может быть пробита. На практике подобный случай возможен, если на конце кабельной линии включается приемник, обладающий индуктивностью.
В радиотехнике качество резонансного контура считается тем выше, чем больше отношение  называемое добротностью контура Q:

Чем меньше мощность потерь энергии в контуре (этому соответствует меньшая величина R), тем больше добротность контура.

Большей величине добротности соответствует больший ток I_р при резонансе и более острая резонансная кривая.

На рис. 17.5 показаны две резонансные кривые тока, построенные в относительных единицах при двух величинах добротности. По горизонтальной оси отложены отношения изменяющейся частоты источника энергии к резонансной частоте ω/ω_р, а по вертикальной —отношения тока при данной частоте к току при резонансной частоте I/I_р.

Рис. 17.5. Резонансные кривые при двух значениях добротности контура

Все рассуждения о резонансе напряжений в идеализированной цепи можно распространить и на цепи, содержащие последовательно соединенные катушку и конденсатор с потерями. Как известно, реальные катушки и конденсатор могут быть представлены схемами последовательного соединения активного и реактивного сопротивлений (рис. 17.5). Активные сопротивления катушки и конденсатора можно рассматривать как часть общего активного сопротивления цепи R, тогда схема на рис. 17.4, а будет пригодна и в этом случае.

Резонанс в электрических цепях

Резонансные (колебательные) цепи:

Резонансными или колебательными цепями называются электрические цепи, в которых могут возникать явления резонанса напряжений или токов.

Резонанс представляет собой такой режим пассивной электрической цепи, содержащей индуктивности и емкости, при котором реактивное сопротивление и реактивная проводимость цепи равны нулю; соответственно равна нулю реактивная мощность на выводах цепи.

Резонанс напряжения наблюдается в электрической цепи с последовательным соединением участков, содержащих индуктивности и емкости. Неразветвленная цепь, состоящая из последовательно соединенных элементов r, L и С, рассмотренная, представляет собой один из простейших случаев такой цепи. В радиотехнике ее называют последовательным колебательным контуром.

При резонансе напряжений индуктивное сопротивление одной части цепи компенсируется емкостным сопротивлением другой ее части, последовательно соединенной с первой. В результате реактивное сопротивление и реактивная мощность на выводах цепи равны нулю.

В свою очередь резонанс токов наблюдается в электрической цепи с параллельным соединением участков, содержащих индуктивности и емкости. Один из простейших примеров такой цепи, состоящей из параллельно соединенных элементов r, L и С. В радиотехнике такую цепь называют параллельным колебательным контуром.

При резонансе токов индуктивная проводимость одной части цепи компенсируется емкостной проводимостью другой ее части, параллельно соединенной с первой. В результате реактивная проводимость и реактивная мощность на выводах цепи равны нулю.

Частоты, при которых наблюдается явление резонанса, называются резонансными частотами.

Исследование резонансных режимов в электрических цепях заключается в нахождении резонансных частот,

зависимостей различных величин от частоты или параметров L и С, а также в рассмотрении энергетических соотношений при резонансе.

Резонансные цепи очень широко применяются в электротехнике и представляют собой неотъемлемую часть всякого радиотехнического устройства. Изучению явления резонанса, свойств и частотных характеристик простейших резонансных цепей посвящена данная глава.

Последовательный колебательный контур. Резонанс напряжений

Резонансная цепь с последовательным соединением r, L и С (рис. 5-1) является простейшей цепью для изучения явления резонанса напряжений и подробно рассматривается ниже. Комплексное сопротивление такой цепи зависит от частоты:

Резонанс напряжений наступает при частоте когда

отсюда

Мгновенные энергии выражаются формулами:

Если принять

Поэтому

и

Такие зависимости называются частотными характеристиками

Максимальные значения этих энергий равны друг другу, так как

Это следует и из того, что реактивное сопротивление цепи, содержащей индуктивность и емкость, при любой схеме соединений пропорционально разности максимальных значений энергии, запасаемой в магнитном и электрическом полях:

Поэтому условию резонанса (х = 0) соответствует равенство

Мгновенные значения колеблются с удвоенной частотой около среднего значения причем происходит непрерывное перераспределение энергии магнитного и электрического полей, суммарное значение которой постоянно:

    .

В рассматриваемом случае (резонанс напряжений, рис. 5-1) в цепи не происходит обмена энергии между источником и реактивными элементами цепи, а вся электрическая энергия, поступающая от источника, расходуется в сопротивлении r.

Мы уже встречались с понятием добротности индуктивной катушки  и конденсатора . Умножив и разделив выражение для получим:

Здесь — максимум энергии, периодически запасаемой индуктивностью L; Р — активная мощность, расходуемая в сопротивлении при амплитуде тока

Аналогично рассуждая, т. е. умножив и разделив выражение получим:

где — максимум энергии, периодически запасаемой емкостью С, а Р— активная мощность потерь в параллельном сопротивлении r при амплитуде напряжения на емкости Следовательно, в обоих случаях добротность определяется в, зависимости от отношения максимума энергии реактивного элемента к энергии РТ, выделяемой в виде тепла за период.

В случае резонансной цепи также пользуются понятием добротности цепи, подразумевая под этим в общем случае величину

здесь — резонансная частота; — сумма максимальных значений энергии, периодически запасаемой при резонансе в индуктивных (или емкостных) элементах; Р — активная мощность на выводах цепи при резонансе.

Знак в (5-3) относится к случаю, когда число индуктивных (или емкостных) элементов превышает единицу. В рассматриваемом нами случае резонанса напряжений в цепи рис. 5-1 знак опускается.

Для схемы рис. 5-1 на основании (5-3) получаем:

где

называется характеристическим (а также волновым) сопротивлением резонансного контура.

Условимся называть относительной расстройкой частоты по отношению к резонансной
частоте контура величину

Сопротивление контура согласно (5-1) и с учетом (5-2) и (5-4)

откуда, используяполучаем:

Следовательно, полное сопротивление цепи

и угол

Ток в цепи

При частоте, близкой к резонансной, значительно меньше единицы, и поэтому приближенно

Выражения (5-7) практически достаточно точны при . При погрешность в сопротивлении z меньше 10%.

На рис. 5-2 кривые даны в относительных значениях: по оси абсцисс отложена относительная расстройка частоты по оси ординат — отношение полного сопротивления z к активному сопротивлению r (рис. 5-2, а) и угол (рис. 5-2, б).

Следует обратить внимание на то, что частотам выше резонанснойсоответствуют положительные значения расстройки а частотам ниже резонансной — отрицательные значения нулевой частотесоответствует при резонансной частоте

Полное сопротивление цепи минимально при резонансе напряжений при этом ток в цепи достигает своего максимального значения

На рис. 5-3 изображены резонансные кривые тока в относительных значениях: по оси абсцисс, как и на предыдущих графиках, отложены значения по оси ординат — отношения токов к максимальному току при резонансе:

Чем выше добротность цепи Q, тем острее резонансные кривые. Таким образом, величина Q характеризует остроту резонансной кривой («остроту настройки»); согласно (5-3) чем больше отношение максимума энергии поля реактивного элемента к количеству теплоты, рассеиваемой за один период в резонансном контуре, тем острее резонансная кривая.

Резонансные кривые были построены здесь в зависимости от относительной расстройки частоты Можно

вывести расчетные выражения и построить резонансные кривые в зависимости от или относительной частоты Следует заметить, что максимумы резонансных кривых на рис: 5-3 равны, так как по оси ординат отложено отношение Если откладывать ток I, то при разных r максимумы резонансных кривых, естественно, не совпадут в одной точке.

Полосу частот вблизи резонанса, на границах которой ток снижается домаксимального (резонансного) значения принято называть полосой пропускания резонансного контура. При токе мощность, расходуемая в сопротивлении r, равна:   

т. е. составляет половину мощности, расходуемой при резонансе. Поэтому полосу пропускания характеризуют как полосу, границы которой соответствуют половине максимальной мощности. На границах полосы пропускания резонансного контура активное и реактивное сопротивления равны Это следует из условия

что дает

Соответственно и фазовый сдвиг между напряжением на выводах цепи и током составляет  на нижней границе комплексное сопротивление цепи имеет емкостный характер (ток опережает напряжение) и = —45°; на верхней границе комплексное сопротивление цепи имеет индуктивный характер (ток отстает от напряжения) и = 45°.

На основании (5-8) условие для границы полосы пропускания записывается в следующем виде:

или

откуда

(знак минус перед корнем, получающийся в результате решения квадратного уравнения, опускается, как не имеющий смысла). Индексы 1 и 2 и соответственно знаки минус и плюс в выражении (5-9) относятся к границам ниже и выше резонанса.

По определению полоса пропускания резонансного контура находится из условия

или

Величина d, обратная добротности контура, называется затуханием контура.

При достаточно высокой добротности резонансного контура подкоренное выражение (5-9) может быть приравнено единице, откуда т.е. пропуская практически симметрична относительно резонансной частоты.
В радиотехнических устройствах к одному из реактивных элементов колебательного контура, например емкости, подключается нагрузка в виде сопротивления Вследствие этого возрастают потери в цепи и соответственно уменьшается добротность. Для определения добротности нагруженного контура параллельное соединение и С может быть заменено эквивалентным при резонансной частоте последовательным соединением емкости и «вносимого сопротивления» С этой целью используются условия эквивалентности цепей с последовательным и параллельным соединениями.

Так как обычно  С учета того,что получаем: При этом, как отмечалось в конце емкости эквивалентных схем могут быть практически приравнены друг другу.

Таким образом, добротность нагруженного контура равна:

а затухание увеличивается на вносимое затухание

Если вносимое сопротивление значительно превышает сопротивление к, то

Внутреннее сопротивление источника э. д. с. добавляемое к сопротивлению r, влияет на добротность и полосу пропускания колебательного контура: чем больше тем ниже добротность и шире полоса пропускания

контура. Поэтому с точки зрения сокращения полосы пропускания последовательного колебательного контура выгоден источник напряжения с малым внутренним сопротивлением.

В условиях, близких к резонансу, напряжения на индуктивности и емкости могут быть весьма велики, что необходимо учитывать во избежание повреждения изоляции.

На рис. 5-4 показана векторная диаграмма тока и напряжений при резонансе. Напряжения на реактивных элементах при резонансе определяются из выражения

При Q > 1 эти напряжения превышают напряжение U — Е, приложенное к резонансному контуру. Однако значения, получаемые на основании (5-11), не являются максимальными: максимум напряжения располагается

несколько выше (правее), а максимум Uc — ниже (левее) резонансной частоты (рис. 5-5).

Напряжение на индуктивности равное нулю при = 0, с увеличением может возрастать только до тех пор, пока ток не начнет снижаться быстрее, чем возрастает . После этого спадает, стремясь, в пределе к Е. Напряжение на емкости равное при = О приложенному напряжению U = Е, увеличивается, пока ток растет быстрее, чем ; затем спадает, стремясь в пределе к нулю. Кривые пересекаются при резонансе, причем ордината точки пересечения в соответствии с (5-11) равна QE.

Эго также вытекает из анализа следующих ниже выражений, полученных с учетом (5-5) и (5-6):

и

Напряжение достигает максимума при

а напряжение

Пренебрегая по сравнению с единицей, получаем приближенную формулу

Возвращаясь к определению понятия добротности рассматриваемой резонансной цепи, мы видим, что наряду с формулами (5-3) и (5-4) добротность цепи характеризуется выражениями (5-10) и (5-11), а именно:

Последняя формула показывает, что добротность рассматриваемой цепи определяется как кратность перенапряжения на L и С при резонансной частоте.

Выше была рассмотрена неразветвленная электрическая цепь с последовательно соединенными r, L н С. Для исследования явления резонанса в более сложных разветвленных цепях, где резонанс напряжений может возникать на одной или нескольких частотах, наряду с аналитическим методом расчета, иллюстрированным выше, целесообразно также пользоваться методом геометрических мест.

Следует отметить, что при максимум функции наступает при т. е. в этом случае с ростом частоты непрерывно стремится к значению приложенного напряжения U — Е; максимум же функции в рассматриваемом случае имеет место при = —1, т. е. при нулевой частоте когда

Параллельный колебательный контур и резонанс токов

Явление резонанса токов удобно изучать применительно к электрической цепи с параллельно соединенными r, L и С (рис. 5-6), так как при этом можно непосредственно воспользоваться результатами, полученными в предыдущем параграфе.

Действительно, выражение для комплексной проводимости такой цепи

по своей структуре аналогично выражению (5-1), причем резонансная частота определяется согласно (5-2).

Добротность резонансной цепи на основании (5-3)

По аналогии с предыдущим выражение (5-13) приводится к виду:
Сравнивая полученный результат с (5-6), убеждаемся в том, что выражение Y/g для схемы рис. 5-6 имеет тот же вид, что и выражение для схемы рис. 5-1.

Поэтому кривые рис. 5-2 применимы и в данном случае: кривые рис. 5-2, а выражают зависимость от 6 Отношения y/g, а кривые рис. 5-2, б — зависимость угла —

Кривые рис. 5-2, а показывают, что при резонансе токов полная проводимость цепи минимальна, т. е. входное сопротивление достигает максимума.

При заданном напряжении на выводах цепи ток, идущий от источника в цепь, равен:

Этот ток достигает минимума при резонансной частоте, так как при этом

Следовательно, отношение. токов определяется из выражения

правая часть которого полностью совпадает с (5-8).

В связи с этим резонансные кривые рис. 5-3 выражают применительно к схеме рис. 5-6 зависимость

В случае резонанса токов токи в индуктивном и емкостном элементах схемы рис. 5-6 равны и противоположны по знаку:

Полученное выражение показывает, что добротность рассматриваемой цепи определяется как кратность токов в L и С по отношению к суммарному току

При Q > 1 эти токи превышают

Если параллельный колебательный контур питается от источника тока с внутренним сопротивлением то чем меньше сопротивление присоединяемое параллельно сопротивлению r, тем ниже добротность и шире полоса пропускания контура. Поэтому в отличие от последовательного колебательного контура с точки зрения сокращения. полосы пропускания параллельного колебательного контура выгоден источник тока с большим внутренним сопротивлением.

Для схемы рис. 5-6 при резонансе токов остается в силе вывод, сделанный в предыдущем параграфе о непрерывном обмене энергией между индуктивным и емкостным элементами при резонансе напряжений.

Схема рис. 5-6 является идеализированной, так как она не учитывает активных потерь в ветвях L и С. Поэтому рассмотрим другие схемы,’приняв во внимание активные сопротивления в ветвях L и С (рис. 5-7, а и б).

Условие резонанса токов для схемы рис. 5-7, а записывается в виде равенства реактивных проводимостей:

Откуда

Явление резонанса возможно при этом только в случае, если подкоренное выражение (5-15) имеет положительный

знак или, что то же, величиныимеют одинаковый знак Если то цепь резонинует на любой частоте.

.
На рис. 5-8 показана векторная диаграмма при резонансе токов в цепи рис. 5-7, а. Токи в индуктивной и емкостной ветвях слагаются из активных и реактивных составляющих, причем

Чем меньше по сравнению си тем ближе

к угол фазового сдвига между при этом токи в ветвях образуют как бы один контурный ток замыкающийся в колебательном контуре

что При этом проводимость колебательного контура приближенно выразится формулой, широко распространенной в практике радиотехнических расчетов:

При (5-15) 

Кроме того, если при любой

частоте (резонанс в такой цепи называют «безразличным» резонансом).

Легко убедиться в том, что и в. случае резонансной цепи с двумя параллельными ветвями (см. рис. 5-7) соблюдается условие Для этого достаточно

умножить обе части уравнения (5-14) на

Выше отмечалось, что в схеме с параллельно соединенными r, L и С (см. рис. 5-6) полная проводимость всей цепи имеет минимум при резонансной частоте.

Для схемы рис. 5-7, б нетрудно показать, что при изменении частоты о) или индуктивности L минимум полной проводимости цепи, а также минимум общего тока наступают не при резонансной частоте. В том же случае, когда переменным параметром является емкость С, проводимость и общий ток достигают минимума при резонансе токов.
Добротность параллельного колебательного контура рис. на основании (5-3) равна:

но

откуда

где резонансная частота определяется по формуле (5-15).

Часто в ветви с емкостью сопротивлением можно пренебречь. Тогда формулы значительно упрощаются.

Рассмотрим этот случай (см. рис. 5-7, б).

Резонанасная частота такого контура согласно (5-15)

а добротность цепи в соответствии с полученным выше выражением

Из сопоставления (5-16) и (5-2) видно, что при одних и тех же параметрах r, L и С резонансные частоты для схем рис. 5-1 и 5-7, б отличаются множителем

При разность резонансных частот не превышает 1%. Кроме того, выражение (5-16) показывает, что резонанс токов возможен в охеме рис. 5-7,6 только при

Общее сопротивление колебательного контура (см. рис, 5-7, б)

На основании соотношений (5-16) и (5-17) можно получить:

Учитывая также соотношения 

получаем выражение для сопротивления колебательного контура:

.

При резонансной частоте

В режиме, близком к резонансу, когданесоизмеримо меньше единицы, данное выражение заменяется приближенным:

При высокой добротности колебательного контура

Приэтом токи в ветвях

Здесь — ток, входящий в цепь.

Напряжение на выводах цепи связано с током I следующим образом:

Приближенные выражения (5-19) и (5-20) аналогичны при заданном Q выражениям(5-12) и (5-7), выведенным для цепи рис. 5-1, при условии замены напряжений токами и обратно. Поэтому кривые сопротивлений, токов и напряжений, соответствующие схеме рис. 5-1, в известном масштабе приближенно выражают проводимости, напряжения и токи в схеме рис. 5-7, б.

Следует обратить внимание на то, что в схеме рис. 5-6 мгновенная мощность в цепи при резонансе токов равна мгновенной мощности, расходуемой в сопротивлении r; в схемах с двумя параллельными ветвями (рис. 5-7) мгновенная мощность на выводах цепи отлична от мгновенной мощности, расходуемой в сопротивлениях ветвей. Например, в тот момент, когда ток, входящий в цепь, проходит через нулевое значение, мгновенная мощность на выводах цепи равна нулю; в этот момент токи в ветвях, сдвинутые по фазе относительно суммарного тока цепи, отличны от нуля и поэтому мгновенная мощность, расходуемая в сопротивлениях ветвей, также не равна нулю. Объясняется это тем, что в схемах ~рис. 5-7, а и б энергия, накапливаемая реактивными элементами, периодически преобразуется частично в теплоту (в сопротивлениях ветвей), а затем вновь пополняется за счет энергии источника.
Для повышения крутизны резонансных характеристик, необходимой для более четкого разделения колебаний разных частот, в радиотехнике широко применяются двухконтурные резонансные цепи: два резонансных контура, настроенных каждый в отдельности на одну и ту же частоту, связываются индуктивно или электрически. В отличие от «одногорбой» резонансной кривой одиночного контура в связанных цепях получаются «двугорбые» кривые; например, ток в каждом контуре может иметь максимумы при двух частотах, расположенных ниже и выше резонансной частоты одиночного контура.

Частотные характеристики сопротивлений и проводимостей реактивных двухполюсников

Двухполюсником называется любая электрическая цепь или часть электрической цепи, имеющая два вывода. Ниже рассматриваются только линейные двухполюсники, т. е. такие, которые состоят из линейных элементов.

Различают двухполюсники активные и пассивные.

Активным называется двухполюсник, содержащий источники электрической энергии, которые не компенсируются взаимно внутри двухполюсника.

Пассивным называется двухполюсник, не содержащий источников электрической энергии; в случае линейного двухполюсника он может содержать источники электрической энергии, взаимно компенсирующиеся таким образом, что напряжение на его разомкнутых выводах равно нулю. Такой линейный двухполюсник относится к категории пассивных; его сопротивление, измеренное на выводах, не изменится, если источники электрической энергии внутри него заменить пассивными элементами — внутренними сопротивлениями источников э. д. с. или соответственно внутренними проводимостями источников тока. Пример двухполюсника, содержащего компенсированные источники, показан на рис. 5-9.

По числу элементов, входящих в двухполюсник, различают одноэлементный, двухэлементный и многоэлементный двухполюсники.

По характеру этих элементов двухполюсники делятся на реактивные, т. е. состоящие из индуктивностей и емкостей, и двухполюсники с потерями, содержащие активные сопротивления. Реактивные двухполюсники представляют собой идеализированные электрические системы, приближающиеся по своим свойствам к физически существующим цепям с малыми потерями.

Частотные характеристики сопротивлений или проводимостей двухполюсников, образующих электрическую цепь, предопределяют частотные и резонансные свойства цепи, т. е. зависимости амплитуд и фаз токов и напряжений от частоты.

Настоящий параграф посвящен изучению частотных характеристик пассивных реактивных двухполюсников.

Одноэлементные реактивные двухполюсники

Индуктивность и емкость представляют собой простейшие одноэлементные реактивные двухполюсники. Знак комплексного сопротивления и комплексной проводимости каждого из этих двухполюсников не зависит от частоты; этим они существенно отличаются от других, более сложных реактивных двухполюсников, содержащих неоднородные реактивные элементы, т. е. индуктивность и емкость в разных сочетаниях.

Комплексное сопротивление индуктивного элемента во всем спектре частот имеет положительный знак, а комплексная проводимость — отрицательный:

Комплексное сопротивление емкостного элемента во всем спектре частот имеет отрицательный знак, а комплексная проводимость — положительный:

В рассматриваемом случае реактивных двухполюсников комплексные сопротивления и проводимости являются мнимыми. Поэтому для сохранения знаков частотные ха-рактернстнкн сопротивлений и проводимостей удобно рисовать в прямоугольной системе координат, в которой вверх откладываются мнимые величины со знаком плюс, а вниз — со знаком минус.

Частотные характеристики построенные в прямоугольной системе координат, представляют собой прямые линии, а частотные характеристики — равнобочные гиперболы (рис. 5-10). Таким образом, кривые и аналогичны кривым

Следует заметить, что как сопротивления, так и проводимости рассматриваемых здесь одноэлементных реактивных двухполюсников возрастают (с учетом знака) по мере повышения частоты, т. е.

Это является общим свойством всех реактивных двухполюсников, а не только одноэлементных.

Двухполюсник, состоящий из последовательно или параллельно соединенных однородных элементов (индуктивностей или емкостей), относится к числу одноэлементных двухполюсников, так как последовательно или параллельно соединенные однородные элементы могут быть заменены одним эквивалентным реактивным элементом того же характера.
 

Двухэлементные реактивные двухполюсники

Двухэлементные двухполюсники, составленные из индуктивности и емкости, представляют собой простейшие резонансные цепи.

При последовательном соединении индуктивности и емкости алгебраически складываются комплексные сопротивления. На рис. 5-11, а жирной линией показана частотная характеристика двухполюсника, полученная в результате графического сложения кривых Она пересекает ось абсцисс при резонансной частоте (резонанс напряжений). Эта частота, при которой функция Z обращается в нуль, называется нулем данной функции; точка на оси абсцисс, которая соответствует нулю функции, обозначается кружком.

Частотная характеристика проводимости того же двухполюсника представляет собой функцию, обратную сопротивлению:

Кривая Y показана на рис. 5-11, б.

При резонансной частоте проводимость рассматриваемого двухполюсника обращается в бесконечность; эта точка носит название полюса функции Y и обозначается на чертеже крестиком

Частотные характеристики Z и Y, построенные таким образом1, соответствуют уравнениям:

и

или с учетом(5-2):

На осях ординат частотных характеристик чисто реактивных цепей откладываются мнимые значения сопротивлений и проводимостей.

В области частот ниже резонансной сопротивление емкостного элемента превышает по абсолютному значению сопротивление индуктивного элемента; при этом сопротивление двухполюсника имеет емкостный характер.

В области частот выше резонансной абсолютное значение емкостного сопротивления меньше, чем индуктивного; сопротивление двухполюсника имеет индуктивный характер.

При параллельном соединении индуктивности и емкости алгебраически складываются их комплексные проводимости. На рис. 5-12, а жирной линией показана частотная

характеристика двухполюсника, полученная в результате графического сложения

Частотная характеристика сопротивления того же двухполюсника представляет собой функцию, обратную проводимости: Z — 1/Y. Кривая Z показана на рис. 5-12, б.

Частота, при которой характеристика Y пересекает ось абсцисс (нуль функции У), а характеристика Z уходит в бесконечность (полюс функции Z), является резонансной частотой (резонанс токов).

Частотные характеристики, построенные на рис. 5-12, соответствуют уравнениям:

И

или с учетом (5-22)

В области частот ниже резонансной проводимость индуктивного элемента перекомпенсирует проводимость емкостного элемента и сопротивление двухполюсника получается, индуктивным. В области частот выше резонансной наблюдается обратное явление и сопротивление двухполюсника имеет емкостный характер.

Таким образом, в зависимости от частоты двухэлементный реактивный двухполюсник может иметь либо индуктивное, либо емкостное сопротивление. При этом, так же как и в случае одноэлементного реактивного двухполюсника, кривые Z и Y возрастают, т. е. производные от и по частоте положительны.

В отличие от сопротивлений одноэлементных двухполюсников, которые выражаются только через текущую частоту, сопротивления двухэлементных реактивных двухполюсников зависят также и от разности квадратов резонансной и текущей частот (формулы (5-21) и (5-22)1.

Как видно из выражений (5-21), для построения частотных характеристик двухполюсника, состоящего из последовательно соединенных элементов L и С, достаточно знать нуль функции Z или, что то же, полюс функции Y. Параметр L, входящий в (5-21), влияет только на выбор масштаба Z и Y по оси ординат.

Аналогично в соответствии с (5-22) для построения частотных характеристик двухполюсника, состоящего из параллельно соединенных элементов L и С, достаточно знать полюс Z или, что то же, нуль Y, причем параметр С влияет только на масштаб Z и Y.

Двухполюсники, имеющие одинаковые частотные характеристики Z или Y, эквивалентны.

Многоэлементный реактивный двухполюсник

Многоэлементный реактивный двухполюсник может быть получен в результате различных сочетаний одноэлементных и двухэлементных двухполюсников. Пользуясь частотными характеристиками, приведенными выше, можно построить частотные характеристики для трех-, четырех- и много-элементных реактивных двухполюсников. При этом одно-

родные элементы (или группы элементов с одинаковыми резонансными частотами), соединенные параллельно или последовательно, должны быть сначала заменены одним элементом (или эквивалентной группой элементов, как это, например, показано на рис. 5-13).

Такие двухполюсники будем называть «приведенными».

Из свойства положительности производной (или следует, что нули и полюсы функций Z (или Y) должны чередоваться, так как при наличии двух последовательных нулей, не разделенных полюсом, имелся бы участок характеристики с отрицательной производной.

В общем случае, если при сопротивление реактивного двухполюсника равно нулю, т. е. имеется путь для постоянного тока, то первым наступает резонанс токов, за ним следует резонанс напряжений и т. д.

В противном случае порядок расположения резонансов обратный: первым наступает резонанс напряжений, вторым — резонанс токов и т. д.

На рис. 5-14, а дана схема многоэлементного двухполюсника, а на рис. 5-14, б — соответствующая ему частотная характеристика сопротивления.

У реактивных двухполюсников сумма чисел полюсов и нулей (не считая точек на единицу меньше числа элементов данного «приведенного» двухполюсника.

Расположение нулей и полюсов, как указывалось выше, поочередное, а все ветви частотной характеристики с увеличением возрастают.

Резонансом называется такой режим работы цепи, включающей в себя индуктивные
и емкостные элементы, при котором ее входное сопротивление (входная проводимость)
вещественно. Следствием этого является совпадение по фазе тока на входе цепи
с входным напряжением.

Резонанс в цепи с последовательно соединенными элементами
(резонанс напряжений)

Для цепи на рис.1 имеет место

где

;

(1)

.

(2)

В зависимости от соотношения величин и возможны три различных случая.

1. В цепи преобладает индуктивность, т.е. , а следовательно,

. Этому режиму соответствует векторная
диаграмма на рис. 2,а.

2.В цепи преобладает емкость, т.е. , а значит, . Этот случай отражает векторная
диаграмма на рис. 2,б.

3. — случай резонанса напряжений
(рис. 2,в).

Условие резонанса напряжений

.

(3)

При этом, как следует из (1) и (2), .

При резонансе напряжений или режимах, близких к нему, ток в цепи резко возрастает.
В теоретическом случае при R=0 его величина стремится к бесконечности. Соответственно
возрастанию тока увеличиваются напряжения на индуктивном и емкостном элементах,
которые могут во много раз превысить величину напряжения источника питания.

Пусть, например, в цепи на рис. 1 . Тогда , и, соответственно, .

Явление резонанса находит полезное применение на практике, в частности в радиотехнике.
Однако, если он возникает стихийно, то может привести к аварийным режимам вследствие
появления больших перенапряжений и сверхтоков.

Физическая сущность резонанса заключается в периодическом обмене энергией между
магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, причем
сумма энергий полей остается постоянной.

Суть дела не меняется, если в цепи имеется несколько индуктивных и емкостных
элементов. Действительно, в этом случае , и соотношение (3) выполняется
для эквивалентных значений L_Э и C_Э .

Как показывает анализ уравнения (3), режима резонанса можно добиться путем
изменения параметров L и C, а также частоты. На основании (3) для резонансной
частоты можно записать

.

(4)

Резонансными кривыми называются зависимости тока и напряжения от частоты.
В качестве их примера на рис. 3 приведены типовые кривые I(f); и для цепи на рис. 1 при U=const.

Важной характеристикой резонансного контура является добротность Q,
определяемая отношением напряжения на индуктивном (емкостном) элементе к входному
напряжению:

,

(5)

— и характеризующая “избирательные” свойства резонансного контура, в частности
его полосу пропускания .

Другим параметром резонансного контура является характеристическое сопротивление,
связанное с добротностью соотношением

,

(6)

или с учетом (4) и (5) для можно записать:

.

(7)

Резонанс в цепи с параллельно соединенными элементами

(резонанс токов)

Для цепи рис. 4 имеем

,

где

;

(8)

.

(9)

В зависимости от соотношения величин и , как и в рассмотренном выше случае
последовательного соединения элементов, возможны три различных случая.

В цепи преобладает индуктивность, т.е. , а следовательно, . Этому режиму соответствует векторная
диаграмма на рис. 5,а.

В цепи преобладает емкость, т.е. , а значит, . Этот случай иллюстрирует векторная
диаграмма на рис. 5,б.

— случай резонанса токов (рис.
5,в).

Условие резонанса токов или

.

(10)

При этом, как следует из (8) и (9), . Таким образом, при резонансе
токов входная проводимость цепи минимальна, а входное сопротивление, наоборот,
максимально. В частности при отсутствии в цепи на рис. 4 резистора R ее входное
сопротивление в режиме резонанса стремится к бесконечности, т.е. при резонансе
токов ток на входе цепи минимален.

Идентичность соотношений (3) и (5) указывает, что в обоих случаях резонансная
частота определяется соотношением (4). Однако не следует использовать выражение
(4) для любой резонансной цепи. Оно справедливо только для простейших схем с
последовательным или параллельным соединением индуктивного и емкостного элементов.

При определении резонансной частоты в цепи произвольной конфигурации или, в
общем случае, соотношения параметров схемы в режиме резонанса следует исходить
из условия вещественности входного сопротивления (входной проводимости) цепи.

Например, для цепи на рис. 6 имеем

Поскольку в режиме резонанса мнимая часть должна быть равна нулю, то условие резонанса имеет
вид

,

откуда, в частности, находится резонансная частота.

Резонанс в сложной цепи

Условие резонанса для сложной цепи со смешанным соединением нескольких индуктивных
и емкостных элементов, заключающееся в равенстве нулю мнимой части входного
сопротивления или входной проводимости , определяет наличие у соответствующих
этому условию уравнений относительно нескольких вещественных корней,
т.е. таким цепям соответствует несколько резонансных частот.

При определении резонансных частот для реактивного двухполюсника аналитическое
выражение его входного реактивного сопротивления или входной реактивной проводимости
следует представить в виде отношения
двух полиномов по степеням , т.е. или . Тогда корни уравнения дадут значения частот, которые
соответствуют резонансам напряжений, а корни уравнения — значения частот, при которых
возникают резонансы токов. Общее число резонансных частот в цепи на единицу
меньше количества индуктивных и емкостных элементов в схеме, получаемой из исходной
путем ее сведения к цепи (с помощью эквивалентных преобразований) с минимальным
числом этих элементов. Характерным при этом является тот факт, что режимы резонансов
напряжений и токов чередуются.

В качестве примера определим резонансные частоты для цепи рис. 7. Выражение
входного сопротивления данной цепи имеет вид

Из решения уравнения получаем частоту , соответствующую резонансу напряжений,
а из решения уравнения — частоту , соответствующую резонансу токов.

Литература

1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил,
   С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические
   цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных
   специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

1. Что такое резонанс напряжений, чем он характеризуется?
2. Что такое резонанс токов, чем он характеризуется?
3. В чем физическая сущность резонансных режимов?
4. На основании каких условий в общем случае определяются резонансные частоты?
5. В цепи на рис. 1 R=1 Ом; L=10 мГн; С=10 мкФ. Определить резонансную частоту
   и добротность контура.

Ответ: .

6. Какие условия необходимы и достаточны, чтобы в цепи на рис. 1 выполнялось
   соотношение ?
7. Определить резонансную частоту для цепи на рис. 7, если в ней конденсатор
   С3 заменен на резистор R3.

Ответ: .

ЛЕКЦИЯ 6

 Резонансные режимы в электрических цепях синусоидального тока.

Резонанс напряжений

Режим работы RLC цепи или LC—цепи, при условии равенства реактивных сопротивлений X_C = X_L, когда общее напряжение цепи совпадает по фазе с её током , называется резонансом напряжения.

X_C = X_L – условие резонанса

             

RLC цепь                                                                              LC цепь.

Признаки резонанса напряжения:

1. Напряжение на входе совпадает по фазе с током, т.е. сдвиг фаз между I и U    φ = 0, cos φ = 1

Рекомендуемые материалы

2. Ток в цепи будет наибольшим и как следствие P_max = I²_maxR тоже максимальна, а реактивная мощность равна нулю.

3. Резонансная частота

4.  

Резонанс можно достигнуть, изменяя L, C или ω.

Векторные диаграммы при резонансе напряжений

LC цепь                                                               RLC цепь

  

Случаи других режимов работы RLC цепи

1. Если X_L>X_C т.е. 

U опережает I, значит цепь имеет активно-индуктивный характер

   напряжение на катушке больше напряжения на конденсаторе.

Векторная диаграмма

1. Если X_L<X_C , т.е. 

U отстает от  I, значит цепь имеет активно-емкостной характер

               напряжение на конденсаторе больше напряжения на катушке.

Векторная диаграмма

Параллельное соединение элементов в цепи синусоидального тока

На входе параллельной цепи напряжение

 Закон Ома

         

Эквивалентные сопротивления ветвей:

Запишем эквивалентные проводимости:

;      

по первому закону Кирхгофа:

где

,    где

Треугольники проводимостей и токов

 алгебраическая форма

G – действительная часть, активная составляющая

B – мнимая часть, реактивная составляющая.

;

или ;

Треугольник тока

Резонанс токов

Режим, при котором в цепи, содержащей параллельные ветви с индуктивными и емкостными элементами, ток неразветвленного участка цепи совпадает по фазе с напряжением (φ=0), называют резонансом токов.

Условие резонанса токов:

В₁ – реактивная проводимость первой ветви,

В₂ – реактивная проводимость второй ветви

Признаки резонанса токов:

1. Реактивные составляющие токов ветвей равны I_PC  =  I_PL и находятся в противофазе в случае, когда напряжение на входе чисто активное;
2. Токи ветвей превышают общий ток цепи, который имеет минимальное значение;
3. и совпадают по фазе

RLC – цепь                                                                                      Векторная диаграмма

LC – цепь                                                                             Векторная диаграмма

                             

Резонансная частота

Случаи резонансных цепей

цепей

Если R₂=0 резонанс наступит, при

Случаи резонанса токов

Случай 1. Один резонанс в цепи, при условии:

Случай 2.  Два резонанса в цепи, при определенном соотношении сопротивлений элементов

Случай 3.  Нет резонанса в цепи – частота является величиной неопределенной, при

Частотные характеристики колебательного контура

Баланс мощностей в цепях переменного тока

Коэффициент мощности

• Генератор или электрооборудование энергетически выгодно эксплуатировать, если оно совершает максимальную работу. Работа в электрической цепи определяется активной мощностью Р.

• Коэффициент мощности показывает, насколько эффективно используется генератор или электрооборудование

λ=P/S=cosφ≤1

С уменьшением коэффициента мощности стоимость потребляемой электроэнергии возрастает .

Обратите внимание на лекцию «Франко-китайская и японо-китайская войны».

Способы увеличения коэффициента мощности

• Мощность максимальна в случае, когда Р = S, т.е. в случае резистивной цепи.

• Генератор осуществляет только необратимые преобразования энергии и не участвует в колебательных процессах обмена энергией с электромагнитным полем приемников, в режиме максимальной мощности.

• Потребители электрической энергии в основном имеют схему замещения RL элемента, поэтому увеличение коэффициента мощности возможен с помощью компенсации реактивной мощности подключением емкостного элемента (Q_L—Q_С),  подключение емкостного элемента снижает ток в линии электропередачи, что позволяет уменьшить сечение электропроводов, а это приводит к экономии электропроводящих материалов.

• Значение коэффициента мощности в энергосистемах зависит насколько грамотно эксплуатируется электротехнические установки и приборы.

•  сosφ может снижаться, если установки работают в режиме холостого хода, или недогружены.